高数(同济第六版)第十一章总结.docx

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1、第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）1、体现的是“对弧长”的积分，Lf(x,y)ds[其中L为光滑连续的一段或分段曲线]，依然用黎曼积分法得出。2、积分算法的主线是将对弧长s的积分化成对t，x或其他一个变量的积分：①有参数方程x=φ(t)y=ϕ(t)ds=φ'2t+ϕ'2(t)dx(a≤t≤b)则化为Lf(x,y)ds=abf(φ(t),ϕ(t))φ'2t+ϕ'2(t)dt极坐标形式中ds=r2θ+r'2(θ)dθ②有显方程y=f(x)，则有ds=1+f'2(x)dx第二节对坐标的曲线积分（第二类曲线积

2、分）1、有Fξ,η=Pξ,ηi+Q(ξ,η)j,dr=dxi+dyj，则有积分LFdr=LPdx+Qdy（有向量的存在，则必然有方向问题）2、对第二类曲线积分的算法，中心也是要把对x，y的积分化为t，x等一个变量的积分3、两类积分的关系：某点处的方向向量el=（cosα，cosβ）则有LPdx+Qdy=L(Pcosα+Qcosβ)ds第三节格林公式1、描述的是曲线积分与二重积分的关系（有图示）:①两条闭合曲线L1和L2构成的复连通区域，曲线走向满足“正向规定”，围成的复连通区域为D②格林公式的形式：L1+L2Pdx+Qdy=D(∂Q

3、∂y-∂P∂x)dxdy③Green公式成立所满足的条件：区域D由分段光滑的曲线围成；P、Q在D上有一阶连续偏导2、平面积分与路径无关：LPdx+Qdy=0，则①∂Q∂y=∂P∂x②必有某个函数μ(x,y)使得dμ=Pdx+Qdy