高等数学A：6_2二重积分的计算.ppt

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1、第2节二重积分的计算一.直角坐标系中二重积分的计算：oxyabDoxyabDoxyDzoxyDoxyD3．积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域.xoyD1D2D3oxy11例1计算解解法一先对y后对x积分oyx例2计算法二先对x后对y积分oyx解由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分例3计算oyx1D注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。解原积分=011xy例4作出积分域，并改变积分次序：解原

2、积分=解原积分=(4,2)oo(2,1)解原积分oo解原积分=oxyoxy例7求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。解yxzo（2）变换T：把uv平面上的区域一对一的变为D，二.二重积分的换元法定理1设（1）（3）x(u,v),y(u,v)在上具有一阶连续偏导数，且：二重积分的换元公式例8计算解于是三.极坐标系下二重积分的计算则按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分:作极坐标变换解令则在极坐标系中，于是例9计算显然由于从而例10计算反常积分解设例8例8而因此从而例11将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：解积分区域：D:在极坐标

3、下，D：于是解在极坐标下，将D分为二部分表示：于是解在极坐标下，D分为二部分表示：于是解例12求Bernoulli双纽线围成的面积A.解双纽线在极坐标下的方程为：由的周期性得图形的对称性，而且当从增加到时，由零增加到，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。例13求椭圆围成区域的面积A。解令广义极坐标，