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《最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0
2、,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟
3、合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散
4、点图，确定拟合多项式的次数n；(2)列表计算和；(3)写出正规方程组，求出；(4)写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。例1测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系。i0123456(℃)19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为列表如下i019.176.30364.81145
5、7.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜
6、导线无电阻。6-2例2例2 已知实验数据如下表i01234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解设拟合曲线方程为列表如下I0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组解得故
7、拟合多项式为*三最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。证由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组（7）有非零解。式(7)可写为（8）将式（8）中第j个方程乘以(j=0,1,…，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别相加，得因为其中所以(i=0,1,…,m)是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相异零点，由代数基本定理，必须有，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（
8、4）必有唯一解。定理2设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。证只需证明，对任意一组数组成的多项式，恒有即可。因为(k=0,1,…，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有故为最小二乘拟合多项式。*四多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多
