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1、泄洪方案的数学模型钱春江周奇王子义复,旦大学上海,并摘要本文给出解决泄洪问题的数学模型用它找出特定洪水量的最佳泄洪方案引言,,,洪水来临时如果让它破堤淹没两岸将会造成巨大的损失在实际情况中如果能,,,预测洪水量则往往可以采用主动破堤方法使洪水流向损失小的地方从而减少总损失本文给出解决这一问题的数学模型并用它找出了特定洪水量的最佳泄洪方案,为使总的损失最小对每个区域给出了一些指标来衡量它的重要性在进行指标比较过程中把洪水人为地引人某些区域来保护另一些重要性较大的区域免遭洪灾经过一番递推的算法之后我们找到了一个使损失最小的泄洪方案问题的提出,、、
2、原问题实际上就是给定一个区域并且已知该区域内部各小区的海拔高度面积最,,大损失以及给定具体的洪水量求出某种决堤的方案使得在该情况下整个区域的洪灾损失最小表文中用的变量及其说明变量某小区的海拔高度某小区的面积左某小区的最大损失。。二整个区域全部受损的最小洪水量整个区域的总损失某个小区可容纳的最大洪水显在不向别处溢出的前提下某个小区的面积损失率咬某个小,区的体积损失率左某,块小区合在一起的容水量建立模型的假设条件,对每个小区编号下图如该题目是上海市首屈大学生数学模型竞赛试题题。夕怎启又每个小区之间有相对高度为米的小堤互相隔离,户当洪水淹没一个小区
3、且高于该小区高度米时该小区的损失为该小区的互和的函数,损失一蕊势‘左,成口,口,口,假设决堤可选在大堤和小堤的任何地方决堤数目不受限制但一经决就不能补合从河流经大堤决口流人小区的洪水量按决口数目成比例分配如在小区之间口,,的小堤开一决则假设该小区之间的这段小堤不复存在若水位高过小堤则将自动向邻近最低的一个小区泄洪若这样的小区有几块时就平均泄洪模型设计是使每个小区都遭受最大损失的洪水量的最小值经过简单计算可得·‘,。下面我们分别找出当洪水量为和时的最佳泄洪方案望袱当洪水量为时的最佳泄洪方案我们先设计了这样的两个指标吞日,,,及反用来衡量各个小区
4、的重要性具体分布见图二‘,,,,,乙内八,由左图知有个小区如的,且它’备斌、面积损失率和体积损失率为最小们的最大容水量之和大于二因此我们应把水引人这个区域小区,,和小区的和都是最小的因,此它们应该被水填满对小区可以直图口,,接在大堤上开但对于小区必须、,,从,两小区中开口引人但是具体是从小区还是小区引人呢一个是护最小,,,一个是最小应考虑哪个指标呢我们设计了一个小程序程序考虑了不同的洪,,。。,水量哪种损失更大结果在的洪水量的情况下应该从,区开口流人区更,好具体的泄洪方案是,墓叁攀鑫鑫夏而丽摹攀彝夔攀葵打开小区与河流的大堤进满·妙水妙打开小区
5、,与河流的大堤及小一区,与小区的小堤,让一’啼水流满阅,打开小区与河流的大堤让剩下的洪水流人这个方案的最小损失为,百万‘,,元各区洪水量为区图‘,只‘务表示决堤杏表示溢、护,区区”出数字洪”水址‘,、、。区因此小区在河的大堤上的决口数之比为当洪水水量为。时的最佳泄洪方案。,当洪水量为时原有的指标与程序已不再实用,,首先原来的与指标无法寻找这样一种情况即某块区域的损失率比较大,,,例如小区但与它相邻的某个区域的损失率很小可以牺牲一部分眼前利益而换取,长远利益如区域可以容纳一大部分洪水但其必须通过区域流进洪水,由于这个想法我们设计了一个新的指标‘
6、·‘。或一宕十·。,‘其中为权是与第小区相邻的小区中的最小值用人工来分析这块区域的特,性然后在计算机程序中指明运算的方,,「墓一口口攀丁,口一垂,,基爹杯二竺磷鑫鑫鑫鑫一向从而大大减少运算复杂性找到最佳方案。,我们分析左图如果将与区打忍一,通则这块新区域的容水量将大大增长奋于‘,,,为,也大大减小为,,毛了玉泞通过分析各区的相对高度发、、、竺二,’现若将四个小区组合成一个,,▲为“”,“新区则容水量增长很多例第区的山峰粗实线围成的区域为山谷、数字为小堤的海拔,,图水量增长近倍而损失已不变单位体,,、、、积损失率变得异常小为现最小的为区区区区及
7、新区即一一,组合区这几个区总的容水量为·‘,节所以我们分析出应该把水引向这几个区域二”,。具体的洪水在这个区怎样分布我们用计算机来查找,、、、小区中的水先填满我们只需考虑剩下的洪水在新区小区中如何分布使得损失最小,、利用程序可以求出新区区与区装满洪水时总的损失才是最小的最小损失为百万元,最后我们找到了洪水量为时的最佳泄洪方案,。,小区的大堤打开使水流满根据假设洪水将溢向区,,,打开与区区与区区与区的小堤使水流满,,、打通区与区的小堤打开区与河流的大堤使区区的洪水流满口,打开一定量的决使剩下的洪水流入区,、、口,根据这个做法三区的决数之比为即最
8、小损失为百万元方案示意图如下图一三三三三三三三三三三三三三三三三兰三兰兰笼三一。产,二口产一一一决一炒妙护石溢出一皿【户书’妙数字为洪水童一妙妙’,密点为已填满区砚
