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《【高中数学必修三】1.3.1辗转相除法与更相减损术.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.1案例1、辗转相除法与更相减损术回顾算法的三种表示方法：（1）、自然语言（2）、程序框图（3）、程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）复习引入思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.解：21824用公有质因数2除，3912用公有质因数3除，343和4互质不除了。得：18和24最大公约数是：2×3＝6问题：如何求8251与6105的最大公约数？(8251,6105)=?例、求18与24的最大公约数：用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第
2、一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。(8251,6105)=(6105,2146)第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813〖辗转相除法（欧几里得算法）〗同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。(8251,6105)=(6105,2146)=(2146,1813)以此类推完整的过程8251=6105×1+
3、21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？第一步：用大数除以小数第二步：除数变成被除数，余数变成除数第三步：重复第一步，直到余数为0时的除数即为最大公约数辗转相
4、除法（欧几里得算法）所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将除数变成被除数，余数变成除数,继续上面的除法,直到余数为0,则这时的除数就是原来两个数的最大公约数.练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程
5、r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？思考3：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.r=mMODnm=n是否n=r开始输入m,nr=0?输出m结束程序框图：INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND程序：课后必做作业：请同学们课后阅读教材，理解并掌握辗转相除法的程
6、序设计〖更相减损术〗我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。〖更相减损术〗第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执
7、行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。例用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于两个数不都是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减14－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝14（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，
8、计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数比较大时更适合用辗转相除法。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为
