南昌大学概率论随机变量函数的分布课件.ppt

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1、复习分布函数离散型连续型边缘分布离散型连续型X与Y的联合分布(X,Y)关于X和Y的边缘分布关于X的关于Y的关于X的关于Y的X与Y相互独立离散型连续型1我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题我们曾经讨论了一维随机变量X函数g(X)的分布，§3.5二维随机变量函数的分布现在我们进一步二维随机变量的函数的分布问题讨论:二维随机变量(X,Y)的分布和二元函数Z=g(X,Y)一维随机变量Z的分布分两种情形讨论2例1设(X,Y)的分布律为求(1)Z=X+Y(2)Z=XY的分布律.一离散型随机变量的函数的分布XY012-120.20.30.10.10.1

2、0.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY0.20.30.10.10.10.20-1-2024Z=XY0.30.10.30.10.2-1-20243设是二维离散型随机变量,其联合分布率为则是一维的离散型随机变量其分布率为结论4例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解5可得所以6例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是解78二、连续型随机变量函数的分布设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y

3、)，其函数Z=g(X,Y)为连续函数,求连续型随机变量Z的概率密度fZ(z)？(I)求Z的分布函数FZ(z)；(II)对分布函数FZ(z)求导即得Z的概率密度fZ(z).∵FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)构成的区域记为G=P((X,Y)G)分布函数法=P(g(X,Y)z)=P(g(X,Y)z)901xy例4设(X,Y)的概率密度为求Z=X-Y的概率密度.解x-y=zy=x∵FZ(z)=P(Zz)=P(X-Yz)当z0时,当0

4、O71y292x+y=z显然，当z<0时,11O71y292x+y=z当0≤z<2时,当z≥2时,12因此下面就按着这个思路,讨论几个特殊函数的分布：13设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为一、Z=X+Y的分布x+y=zGyxo14Z=X+Y的概率密度:卷积公式当X,Y相互独立时,15例5设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y~N(0,2).解16(2)若且相互独立，则一般结论：(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且(3)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分

5、布17为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由公式也即18如图示:于是服从均匀分布的有限个独立地随机变量之和不服从均匀分布19解依题意它们分别服从参数为1,2的泊松分布,由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…例若X和Y相互独立,证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.即Z服从参数为1+2的泊松分布r=0,1,…离散型中也有类似公式或20记住结论！两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立2122同理可得故有23当X,Y独立时,由此可得分布密度为24解由公式例725

6、得所求密度函数得263.Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布(1)Z=max{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}若X与Y相互独立则FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}27(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Z>z}=1P{X>z,Y>z}若X与Y相互独立则FZ(z)=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{X≤z}][1P{Y≤z}]=1[1FX(z)][1FY(z)]28由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,已知它们的概率密度

7、分别为例8设系统L由两个独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为:(1)串联，(2)并联,(3)备用(当系统L1损时,系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.XYL2L1解(1)串联的情况:Z=min(X,Y)的分布函数为故L的寿命为Z=min(X,Y),Fmin(z)=1-[1-FX(z)]·[1-FY(z)]29由于当系统L1损时,系统L2才开始工作,由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,(2)并联的情况:故L的寿命为Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数

8、为。。XYL1L2(3)备用的情况:XYL1L2故L的寿命为Z=X+Y,当z>0