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1、1.4角平分线复习提问1.什么叫角平分线？一条射线把一个角分成两个相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线。何为点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。ABOP学习新知：我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角两边的距离相等.结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.CB1A2PDEO
2、证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PECB1A2PDEO定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.几何语言，如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO′思考分析你能写出“上述定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题：在
3、一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.请你证明它是不是真命题?已知:如图所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.BADEOP证明：作射线OP,∵PD⊥OAPE⊥OB∴△POD和△BPOE都是Rt△∵PD=PE,OP=OP∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)∴∠POD=∠POE∴OP是∠AOB的平分线BADEOP逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点
4、P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).CB1A2PDEO已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE作法:观察这三条角平分线,你发现了什么?作三角形的三条角平分线：定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.（这个交点叫做三角形的内心
5、）自我挑战：1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?EDABCF2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).A区3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO4.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD
6、=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC延伸训练如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长。解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
7、一半）。回顾与小结：1.定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.CB1A2PDEO2.逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.CB1A2PDEO3.用尺规作角的平分线.（作法）
