张量基础知识教学文稿.ppt

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1、第二章张量的基本知识张量的提出：晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法，这种方法就是张量方法。在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量。二、矢量有一些物理量，它既有大小，又有方向

2、，如力、速度、电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量，在三个坐标轴方向上的投影分别为，于是我们将表为：。与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量（磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。三、张量先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律其中σ为电导率，是标量。但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具有相同的方向，此时J与

3、E的关系变为或表示成分量形式矩阵形式此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定律可表示为张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分量来描述，这种物理量就是二阶张量。2.2张量的数学定义描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换，但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换时分量变换的规律。一、坐标变换如图所示，设有直角坐标

4、系OX1X2X3，其三个方向的单位矢为,经过旋转变换为新的坐标系OX'IX'2X'3，在新的坐标系里的单位矢为,令新坐标系中在旧坐标系中的方向余弦为（j=1,2,3)，则或简写为反之，有表示成矩阵形式为将以上关系列成方阵形式则为X1X2X3(老坐标轴)（新坐标系）X1'a11a12a13X2'a21a22a23X3'a31a32a33称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵，它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。二、矢量分量的变换设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,在新坐标系中

5、的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个矢量p,故有注：此处P与P*均为行向量即为于是得为了表示方便我们下面引入指标符号的概念指标符号：下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xi记作定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～u,v,w～求和约定哑指标和自由标1.求和约定和哑指标凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。约定求和约定

6、仅对字母指标有效同一项内二对哑标应使用不同指标，如注意：123哑指标可以换用不同的字母指标2.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如j为自由标注意：同一个方程中各项自由标必须相同不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变12wrongright如：3．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：由定义即相当于单位矩阵。现在我们以二维直角坐标系为例来看看一个小问题：为正交矩阵引用指标符号：由又讨论上式的几何意义说明1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律再看三维情

7、况考虑一位置矢量同理同二维问题，可得（正交性）于是得到最终的矢量变换法则如下二阶张量的变换若有：令：则：若有：令：则：P、Q均为矢量二阶张量三阶张量四阶张量张量定义定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量张量的阶数－－自由标数目n；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。以上张量的定义的物理实质在于：一个张量代表着一个物理量，这个物理量遵从一定的物理定律，而不是依赖于坐标系的选法。当坐标系变换时，物理量并不改变，只是描述的方法随之而变。因此，当坐标系变换时，张量的分量应有随之而变的规律，

8、这就是上述的数学定义。小结：所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。2.3张量的运算一、张量的加法