直线与双曲线的位置关系(公开课)教学内容.ppt

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1、直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交含焦点区域外含焦点区域内含焦点区域内PPP当点P在双曲线上时，能作3条直线与双曲线只有一个公共点。P当点P在其中一条渐近线上（中心除外）时，一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。P当点P在含焦点区域内时，两条是分别与两条渐近线平行。P当点P在双曲线的中心时，不可能作出一条直线与双曲线只有一个公共点。过点P且与双曲线只有一个公共点的直线最多有4条也就是说过点P作与

2、双曲线只有一个公共点的直线条数可能是4条、3条、2条、0条(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，直线L（K=）与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ<0直线与双曲线相离理论分析：判断直线与双曲线位置关系的处理程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交

3、相切相离特别注意：直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例1:解：2.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变式:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。例题讲解例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围解：由得(1-k2)x2+2kx-5=0(*)即方程无解y=kx-1x2-y2=4∴

4、1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)<0k>或k<-∴k>或k<-引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围解：直线一双曲线有两个公共点方程(*)有两个不等的根1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)>0-

5、共点，求k的取值范围1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k=1(*)只有一解②当1-k2≠0时，△=0，即k=(*)只有一解x1x2=->0解：等价于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2>01-k2≠02210解：等价于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2<01-k2≠022-0x1x2=-<02-1

6、双曲线的右支有两个相异的公共点，则应满足（2）解：将直线代入双曲线方程化简整理（※）解得注:直线与双曲线的右支有两个交点,实际上给出了方程解的范围,涉及到二次方程的根的分布问题.解题时需要注意!由韦达定理得：例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。典型例题:解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．　　　则直线AB的方程为y-8=k（x-1）双曲线的中点弦

7、问题例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，例6、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。典型例题:双曲线中的垂直问题解：将y=ax+1代

8、入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.2、过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求

9、AB

10、。作业：