弹性体振动课件.ppt

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1、第7章弹性体振动当振动系统不能简化为有限个独立广义坐标表示的运动方程时，就必须按照连续系统进行分析。有些物理现象，只能用连续系统的模型才能清晰地描述。离散系统的数学特征是用常微分方程来描述;而连续系统则必须用偏微分方程来描述。7.1引言7.1引言同一振动系统可以简化为离散系统和连续系统两种数学模型，连续系统的数学模型可从相应的离散系统当自由度无限增多时的极限过程得到。多自由度系统线性振动的一些重要性质和分析方法，可以推广到连续系统中。7.1引言7.2弦的振动设弦长度为l，单位长度的质量为r，轴向拉力

2、为T，以变形前弦的方向为x轴，横向挠度u(x,t)设为小量。对于长度为dx的微元体有7.2弦的振动TTu微振动时并有7.2弦的振动则令弦的振动方程，在数学上称为一维波动方程。7.2弦的振动则方程变为7.4杆的纵向振动7.4杆的纵向振动假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为p，它们均依赖于坐标x。pr在x

3、处取微段dx，画出该微段的分离体图，则运动方程为即7.4杆的纵向振动应用材料力学中轴向力与轴向变形的关系式得到杆的纵向强迫振动方程（0

4、广义坐标，横截面保持为平面，横截面上每一点的位移由q唯一确定，扭转角q是空间坐标和时间的函数。7.5轴的扭转振动在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。微段的自由振动方程即7.5轴的扭转振动代入得设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭转中心的极惯性矩，r为体积密度。扭矩T与扭转角q的关系可从材料力学中得到7.5轴的扭转振动注意到当GJp为常量时，方程可写成（0

5、动，振动形态(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，各广义位移均随时间同步变化，同时通过平衡位置，同时达到最大值。对于连续体的波动方程，也假设具有同样的特征，因此可假设系统具有分离变量形式的解：7.3时间与空间变量的分离7.3时间与空间变量的分离代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）即可得到7.3时间与空间变量的分离上式右端只依赖于空间变量x，而左端仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等于同一常数，记作－w2，并假设为均匀杆，则得到下面两个独立方程：7.3时间与空间变量的分离两个方程的解为这里：F(x)

6、称为系统的固有振型，w为固有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条件确定。固有振型F(x)有一个常数因子不能确定，这和多自由度系统的情形一样。7.3时间与空间变量的分离固有振型和固有频率固有振型和固有频率一维波动方程必须与指定的边界条件及初始条件一起才能构成定解问题。和多自由度一样首先需要确定固有频率和振型。以杆的纵向振动为例，给出常见的几种边界条件。（1）两端固定：两端的轴向位移均等于零，边界条件为（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，边界条件为（3）左端固

7、定，右端弹簧：右端的轴向力等于弹簧力，边界条件为固有振型和固有频率（4）左端固定，右端集中质量m：右端的轴向力等于惯性力，边界条件为还可以具有其他的边界条件。通过边界条件就可以确定它们所描述的系统的固有频率与固有振型。固有振型和固有频率【例l】求长为l的均匀杆两端固定时的纵向振动固有频率与固有振型。解:两端固定杆的边界条件为u(0,t)=u(l,t)=0即F(0)=F(l)=0代入特征解得固有振型和固有频率A不能等于0,因此必须满足此式称为频率方程。由此可以解得系统无穷多个可数的固有频率与wi对应的

8、固有振型为固有振型和固有频率从固有振型的表达式可以看出，在的点上F(i)(x)=0。系统作固有振动时，这些点是不动的，这样的点称为节点。第i阶固有振动具有i－1个节点，这是带有普遍性的规律。固有振型和固有频率【例2】左端固定，右端自由的均匀杆长度为l，在自由端带有集中质量M，求该系统纵向振动的固有频率与固有振型。解:左端固定端杆的边界条件为u(0,t)=0，即F(0)=0，得B＝0而右端的轴向力等于集中质量的惯性力，边界条件为利用固有振型和固有频率得关于固有振型的边界