弹性体振动课件.ppt

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1、第六章弹性体振动前各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。6.1介绍客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定。由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个；主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也

2、存在关于分布质量与刚度的加权正交性；在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件：1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系

3、统振动的共同点与不同点。6.2一维连续系统振动弦振动从有限多自由度模型到无限多自由度模型－连续系统张力为T的弦振动－多自由度模型根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分方程为假定作微小振动，因此考虑到Dxi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中张力可近似看做常量T。并且有在弦的两端有y0＝yn+1＝0。写成矩阵形式，有将上式两端向除以Dxi，得随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连续函数y(x,t)。同时，分别是弦上单位长度的质量和作用在弦

4、上单位长度上的载荷。于是方程(6.2.4)演化为一阶偏微分方程：其边界条件y(0,t)=y(l,t)=0可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的响应，这种做法在实际问题中常常用到。若把弦作为连续系统，精确地确定系统的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。弦的振动微分方程及其自由振动直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。如图在弦作微振动假设下，有：考虑到微元段在水平方向的平衡，弦中张力可近似看成是常量T。微元段的运动微分方程为与方程(6.2.5)完全相同。讨沦无阻尼自由振动的情形。此时

5、p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可写成称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。要求给出系统的边界条件和初始条件方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。波动解将弦的运动表示为y(x,t)=f1(x－ct)+f2(x+ct)即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加。振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布。两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；振动解揭示了弦的运动由无穷多个简

6、谐运动叠加而成。对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。下面寻求方程(6.2.6)的振动解。观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而变化。用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数和时间函数的乘积。即y(x,t)=X(x)Y(t)(6.3.9)其中X(x)足是振型函数，它描

7、述整个弦的振动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于同一常数。设这一常数为a，有只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定振动运动。所以，取a=－p2于是，上述方程改为方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分别是Y(t)=Asinpt+Bcospt(6.2.12)X(x)=Csinbt+Dcosbt(6.2.12)其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条件(6.2.7)，得X(0)=0(6.2.14)

8、X(l)=0(6.2.15)于是有D=0而由条件(6.2.15)可得sinbl=0(6.2.16)上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值bi所以系统的各阶固有频率为：与其相应的特征函数，亦称振型函