清华大学2017年暑期学校测试真题.docx

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1、清华大学2017年暑期学校测试真题1.已知，其中a，b，c为已知参数，且a≠0，c>0。则以下判断中正确的有______。①f(x)关于点(0，b)成中心对称；②f(x)可能在(0，+∞)上单调递增；③f(x)有界；④g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】①函数f(x)的定义域为R，且，于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。②当x>0时，有，于是函数f(x)在两侧的单调性必然不同，命题错误。③由于，于是f(x)的值域为，进而f(x)为有界函数，命题正确。④方程即，它的解集关于原点对称，于是b=0，若g(x)=0的解为x=±1，±2，则关于x的方程的解集为{1，2}或

2、{-1，-2}，从而满足要求，命题正确。772和f(x)=x+2满足要求，命题正确，如图1.已知无穷数列满足，则的取值范围是______。【解答】情形一=0，则=0(n∈N*)，符合题意。情形二≠0，则≠0(n∈N*)，根据题意，，于是，因此，于是，。综上所述，的取值范围是2.已知，若存在，使得，则a的取值范围是______。【解答】根据题意，关于x的方程的两根之差的绝对值不小于2，也即，解得a的取值范围是[-1，1]【解答】[-1，1]3.黑板上写有1，2，…，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a，b，c，写上a+b+c除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有

3、可能为______。【解答】由于1+2+…+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10，必然在集合中，容易构造最后一个数为10，21，32，…，2012中的任意一个数的例子1.已知双曲线，为其右焦点，O为坐标原点，若左支上存在一点P使得中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______。【解答】设为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，于是解得因此双曲线的离心率的取值范围是，2.曲线C：，以下判断中正确的有______。①曲线C过点(0，0)；②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]③曲线C关于x轴对称；④P为曲线C上的动点，A，B的坐标为(0

4、，1)和(0，-1)，则△PAB的面积的最大值为【解答】记。①由于f(0，0)=1≠3，于是点(0，0)不在曲线C上，命题错误；②根据题意，，于是，等号当x=0时取得，结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]，命题正确；③由于，于是C关于x轴对称，命题正确；④根据②，点P位于(0，2)时，△PAB的边AB上的高取得最大值为2，此时△PAB面积取得最大值为2，命题错误。1.已知空间一球，SC为其直径且

5、SC

6、=4，A，B为球上两点，满足

7、AB

8、=，且∠ASC=∠BSC=30°，则四面体S-ABC的体积为______。【解答】由于SC为球的直径，于是∠SAC=∠SBC=

9、90°于是△SAC与△SBC全等，进而SA=SB，CA=CB设AB的中点为M，则SM⊥AB，CM⊥AB推出AB⊥平面SMC，所以AB⊥SC。在△SAC中作AH⊥SC于点H，连结BH，则SC⊥平面ABH。因此2.已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。【解答】3如图，直角三角形有△PAD，△PDC，△PAB1.已知整数a，b，c为三角形的三边长，其中a≤b≤c，且b=10，则符合条件的(a，b，c)的个数为______。【解答】55根据题意a≤10≤c

10、以及每列都有2个1，则不同的填法数为______。【解答】把每行的填法记为第一类：A：1100，：0011第二类：B：1010，：0101第三类：C：1001，：0110情形一：4行的填法均为间一类，则必然为，有种填法。情形二：4行的填法为两类，则必然为，有种填法；情形三：4行的填法为三类，则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1，不可能因此不同的填法总数为901.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且，求3b-a的最大值______。【解答】根据余弦定理于是，根据正弦定理，等号当时取得，因此求最大值为2.2.投掷一枚均匀的硬币，若出现两次正面朝上的情况即停止

11、投掷，问总投掷次数的数学期望______。【解答】设所求数学期望为x，考虑前两次投出的结果可得解得。1.已知曲线，试证明：对上的任意直径AB，均存在上的动点P，使得PA,PB均与相切______。【解答】欲证命题即过为曲线上任意一点作的两条切线，这两条切线互相垂直。设过点的椭圆的切线为其中，则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式，有，即，于是根据韦达定理以及可得两条切线互相垂直，命题得证。2.已知O为坐标原点，，其中。(1)求的最大值；(2)求的最小值。【解