一阶微分方程在经济学中的综合应用课件.ppt

《一阶微分方程在经济学中的综合应用课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用第十章微分方程与差分方程在研究各经济变量之间的联系及其内在规律时，常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程。下面举一些一阶微分方程在经济学中应用的例子。一、分析商品的市场价格与需求量(供给量)之间的函数关系例1某商品的需求量Q对价格P的弹性为–P1n3,若该商品的最大需求量为1200(即P=0时,Q=1200),(P的单位为元,Q的单位为kg).1.试求需求量Q与价格P的函

2、数关系;2.求当价格为1元时,市场对该商品的需求量;3.当P+时,需求量的变化趋势如何?解1.由条件可知即分离变量并求解此微分方程,得(C为任意常数)由得,C=1200,2.当P=1(元)时,3.显然P+时,Q0,即随着价格的无限增大,需求量将趋于零.例2设某商品的需求函数与供给函数分别为(其中a,b,c,d均为正常数)假设商品价格P为时间t的函数,已知初始价格P(0)=且在任一时刻t,价格P(t)的变化率总与这一时刻的超额需求成正比(比例常数为k>0).1.求供需相等时的价格(均衡价格);2.求价格P(t)的表达式;

3、3.分析价格P(t)随时间的变化情况.解1.由得2.由题意可知将代人上式,得(1)解此一阶非齐次线性微分方程,得通解为由P(0)=得则特解为3.讨论价格P(t)随时间的变化情况.由于为常数,k(b+d)>0,故当t+时,从而(均衡价格)(从数学上讲,显然均衡价格即为微分方程(1)的平衡解,且由于故微分方程的平衡解是稳定的).由与的大小还可分三种情况进一步讨论(见下图)1)若，则，即价格为常数，市场无需调节达到均衡；2)若，因为总是大于零且趋于零，故P(t)总大于而趋于；3)若，则P(t)总是小于而趋于.由以上讨论可知，在价格

4、P(t)的表达式中的两项：为均衡价格，而就可理解为均衡偏差.例3某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t木材的变化率与当时木材数成正比.假设10年时这林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐.二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量解若时间t以年为单位，假设任一时刻t木材的数量为P(t)万立方米，由题意可知(k为比例常数)且该方程的通解为将t=0时,P=10代人,得C=10,故再将t=10时,P=20代人,得于是要使P=40,则t=20.故至少20年后

5、才能砍伐.例4假设某产品的销售量x(t)是时间t的可导函数,如果商品的销售量对时间的增长速率与销售量x(t)及销售量接近于饱和水平的程度N–x(t)之积成正比(N为饱和水平,比例常数为k>0),且当t=0时,1.求销售量x(t);2.求x(t)的增长最快的时刻T.解1.由题意可知(2)分离变量,得两边积分,得解出x(t),得(3)其中由得,B=3,故2.由于令得当tT时,故时,x(t)增长最快.在生物学、经济学中，常遇到这样的量x(t)，其增长率dx/dt与x(t)及N–x(t)之积成正比(N为饱和值),这时x(t

6、)的变化规律遵循微分方程(2)，而x(t)本身按Logistic曲线(3)的方程而变化.微分方程(2)称为Logistic方程，其解曲线(3)称为Logistic曲线.例5某商场的销售成本y和存贮费用S均是时间t的函数，随时间t的增长，销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数5的和，而贮存费用的变化率为存贮费用的(–1/3)倍.若当t=0时，销售成本y=0，存贮费用S=10.试求销售成本与时间t的函数关系及存贮费用与时间t的函数关系.三、成本分析解由已知(4)(5)解微分方程(5)得由得,C=10,故存贮费用与时间t的函数关系为

7、将上式代入微分方程(4),得从而由得从而销售成本与时间t的函数关系为四、公司的净资产分析对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产还需用于发放职工工资。显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营状况将逐渐变糟，而当利息的盈取超过付给职工的工资总额时，公司将维持良好的经营状况。为了表达准确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理的。例6设某公司的净资产在营运过程中，象银行的存款一样，以年

8、5%的连续复利产生利息而使总资产增长，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续地支付职工的工资。1.列出描述公司净资产W(以百万元为单位)的微分方程;2.假设公司的初始净资产为(百万元)，求公司的净资产W(t);3.描绘出当分别为3000,4000和5