【数学】定积分的背景--面积和路程问题-课件(北师大版选修2-2).ppt

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1、第四章定积分4.1.1定积分的背景——面积和路程问题一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积ππ问题1图中阴影部分由抛物线，直线及x轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S。xoy1xoy1(1)将区间[0，1]平均分成5份，如图所示。图(1)中，所有小矩形面积之和显然大于所求曲边梯形的面积，我们称为S的过剩估计值，则有xoy1(2)图(2)中，所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积，我们

2、称为S的不足估计值，则有xoy1(3)我们可以用或近似表示S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图(3)所示。xoy1(4)为减小误差，我们将区间[0，1]10等分，则所求面积的过剩估计值为不足估计值为二者的差值为，此时，无论用还是来表示S，误差都不超过0.1。区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面

3、积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面

4、积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．学习目标：当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积概括前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割

5、区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度→0估计值→所求值求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为xiy=f(x)xyObaxi+1xi(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:如果趋近于0（亦即）时,上述和式无限的趋近某个常数A（即曲边梯形面积）.称A是函数在区间上的定积分.其中，叫作积分号，叫作积分的下限，叫作积分的上限，

6、叫作被积函数，叫作积分变量，叫作积分区间.记作,即A一、基本概念二、概念说明（1）.定积分是一个常数，即时，无限接近的常数A,而不是.（2）.用定义求积分的一般方法是：分割近似代替求和取极限（3）.曲边梯形面积：变速运动路程：定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即三、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyO=-．abyf(x)y-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

7、定积分的几何意义：=-S曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值即：例：说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.(1)(2)(3);;.;o1解（1）：中所示长方形的面积，表示的是图由于这个长方形的面积为2.所以2o1解（2）：中所示梯形的面积，表示的是图由于这个梯形的面所以122积为.o解（3）：半径为1的半圆的面表示的是图中所示由于这个半圆所以o1-11的面积为.积，探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy四、定积分的基本性质性质1.性质2.性质3.abyf(x)Oxy三:定

8、积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性性质4.思考：从定积分的几何意义解释性质⑶aby=f(x)cOxy课本练习例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积0000ayxyxyxy