高考数学专题复习课件：8-7.ppt

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1、§8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直[考纲要求]1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一______向量作为它的方向向量．非零2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔______________．(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔__

2、__________________________________________．(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔_________．(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔__________．v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u23．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔_______________________．(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔____________．(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则

3、α⊥β⇔____________⇔__________________．v1⊥v2⇔v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．()(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(

4、－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2【答案】C【答案】C3．已知直线l的方向向量为v＝(1，2，3)，平面α的法向量为u＝(5，2，－3)，则l与α的位置关系是________．【解析】∵v·u＝0，∴v⊥u，∴l∥α或l⊂α.【答案】l∥α或l⊂α4．(教材改编)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．【解析】当v＝(3，－2，2)时，u·v＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，

5、－10)时，v＝－2u⇒α∥β.【答案】α⊥βα∥β5．(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．【答案】垂直题型一　利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.【证明】∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，

6、0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．【引申探究】本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.【证明】∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.【方法规律】(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线

7、的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【证明】方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面