高中数学 第一节 不等式和绝对值不等式课件 新人教A版选修4-5.ppt

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1、选修4-5不等式选讲第一节不等式和绝对值不等式1.不等式的基本性质对称性a>b⇔b___a传递性a>b,b>c⇒a___c可加性a>b⇔a+c___b+c可乘性①a>b,c>0⇒ac___bc②a>b,c<0⇒ac___bc可乘方性a>b>0⇒an___bn(n∈N,n≥2)可开方性a>b>0⇒____(n∈N,n≥2)＜＞＞＞＜＞＞2.基本不等式(1)定理1如果a,b∈R，那么a2+b2___2ab，当且仅当____时，等号成立.(2)算术平均与几何平均如果a,b都是正数，我们就称______为a，b的算术平均

2、，____为a,b的几何平均.(3)定理2(基本不等式)如果a,b>0，那么___，当且仅当____时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均_____________________它们的几何平均.≥a=b≥a=b不小于(即大于或等于)(4)利用基本不等式求最值对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值，则当且仅当____时，它们的积P取得最___值_____；②如果它们的积P是定值，则当且仅当____时，它们的和S取得最___值______.x=y大x=y小3.三个正数的算术——几何平均不等式(1)定理3

3、如果a,b,c∈R+,那么___,当且仅当______时，等号成立.即：三个正数的算术平均_______它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an，它们的算术平均_______它们的几何平均，即___当且仅当___________时，等号成立.≥a=b=c不小于不小于≥a1=a2=…=an4.绝对值三角不等式定理形式等号成立的条件1

4、a+b

5、≤

6、a

7、+

8、b

9、ab≥02

10、a-c

11、≤

12、a-b

13、+

14、b-c

15、(a-b)(b-c)≥05.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

16、x

17、

18、x

19、

20、>a的解集：(2)

21、ax+b

22、≤c(c>0)和

23、ax+b

24、≥c(c>0)型不等式的解法：①

25、ax+b

26、≤c⇔____________;②

27、ax+b

28、≥c⇔__________________.不等式a>0a=0a<0

29、x

30、

31、x

32、>a______________________________{x

33、-a＜x＜a}∅∅{x

34、x＞a或x＜-a}{x∈R

35、x≠0}R-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a

36、有()(2)若则n≥1.()(3)

37、x-1

38、-

39、x-5

40、<2的几何意义为数轴上的点x到点1，-5的距离之差小于2.()(4)不等式成立的充要条件是

41、a

42、>

43、b

44、.()【解析】(1)错误.当ab>0时，有当ab<0时，有(2)正确.(3)错误.其几何意义为数轴上的点x到点1,5的距离之差小于2.(4)正确.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√考向1利用基本不等式求最值【典例1】(1)若x>0，求函数的最大值.(2)若00,y>0,且9x+y-xy=0,

45、求x+y的最小值.【思路点拨】对于(1)(2)可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形式，利用基本不等式求解；对于(3)应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再利用基本不等式求解.【规范解答】(1)∵x>0,∴f(x)=当且仅当即时等号成立,∴f(x)的最大值为此时(2)∵00,∴f(x)=2x(3-x)=2［x(3-x)］≤当且仅当x=3-x,即时等号成立.∴函数y=2x(3-x)的最大值为(3)∵x＞0,y＞0,9x+y-xy=0，∴9x+y=xy,即∴x+y=当且仅当时，“

46、＝”成立.又即x=4,y=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.【拓展提升】基本不等式的一般形式及条件基本不等式的一般形式为a1+a2+…+an≥(其中a1,a2,…,an为正实数)当且仅当a1=a2=…=an时取等号.利用①式求最小值要求积为定值，利用②式求最大值要求和为定值.【变式训练】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求的最小值.【解析】∵a,b,c∈(0,+∞),∴[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·()≥即2(a+b+c)·()≥9.又∵a+b+c=1，∴当且

47、仅当a=b=c=时，“＝”成立，∴的最小值为考向2绝对值不等式的解法【典例2】解下列不等式：(1)

48、4x+5

49、≥25.(2)

50、2x-1

51、<2-3x.(3)

52、2x+1

53、-

54、x-4

55、>2.【思路点拨】(1)(2)可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式求解.对(2)也可采用两边平方法求解.(3)可采用“零点分段法”，也可构造函数，利用分段函数的图象进行求解.【规范解答】(1