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1、二次根式知识点总结及常见题型资料编号:一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是:（≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.二、二次根式的性质二
2、次根式具有以下性质:（1）双重非负性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）（2）回归性:（≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:.（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若,则.应用与书写规范:∵,≥0,≥0,≥0∴.该性质常与配方法结合求字母的值.（2）;主要用于二次根式的化简.（3）,其中≥0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.（4）,其中≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例1.式子在实
3、数范围内有意义,则的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.解:由二次根式有意义的条件可知:,∴.例2.若为实数,且,化简:.分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式与都有意义,则有.解:∵≥0,≥0∴≥1,≤1∴∴∴.习题1.如果有意义,则实数的取值范围是__________.习题2.若,则_________.习题3.要使代数式有意义,则的最大值是_________.习题4.若函数,则自变量的取值范围是__________.习题5.已知,则____
4、_____.例3.若,则的值等于【】（A）（B）0（C）1（D）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵∴∵≥0,≥0∴∴∴.选择【D】.例4.无论取任何实数,代数式都有意义,则的取值范围是__________.分析:无论取任何实数,代数式都有意义,即被开方数≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:≥0∵≥0∴≥∵≥0∴≤0,∴≥9.解法二:设∵无论取任何实数,代数式都有意义∴≥0恒成立即抛物线与轴最多有一个交点∴≤0解之得:≥9.例5.已知是△ABC的三边长,并且满
5、足,试判断△ABC的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解:∵∴∴∵≥0,≥0,≥0∴∴∵∴∴△ABC为直角三角形.习题6.已知实数满足,则以的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A）20或16（B）20（C）16（D）以上答案均不对习题7.当_________时,取得最小值,这个最小值为_________.习题8.已知,则的值为_________.习题9.已知非零实数满足,求的值.提示:由≥0,且可得:≥0,∴≥5.例6.计算:（1）;（2）;（3）.分析:本题考查二次根式的性质:（≥0）.该性质主要用于二次根式
6、的计算.解:（1）;（2）;（3）.注意:,其中≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7.化简:（1）;（2）;（3）.分析:本题考查二次根式的性质:.该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）;（2）;（3）∵∴原式.注意:结论:.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8.当有意义时,化简:.解:∵二次根式有意义∴≥0∴≥3∴例9.化简:.分析:,继续化简需要的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:的被开方数为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:≥0∴≥3∴例10.已知,化简__________.解:∵∴∴例1
7、1.已知直线（是常数）,如图（1）,化简.解:由函数的图象可知:∴∴例12.已知在数轴上的位置如图（2）所示,化简:.解:由数轴可知:∴∴习题10.要使,的取值范围是__________.习题11.若,则的取值范围是__________.习题12.计算:_________.习题13.计算:_________.习题14.若成立,则的取值范围是__________.习题15.下列等式正确的是【】（A）（B）（C）（D）习题16.下列各式成立的是【】（A）（B）（C）（D）习题17.计算:_________.习题18.化简:_______
8、__.习题19.若________.习题20.已知,化简得__________.习题21.实数在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:的结果为【】（A）（B）（C）（D）习题22.化简:.例13.把中根号外的因式移到根号内,结果是
