线性代数基础教程54和课件.ppt

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1、第五章向量空间§5.4向量空间的内积和标准正交基§5.5概要与小节.§5.4、的内积和标准正交基至今我们已经讨论了向量空间的一些性质和结构，而我们（欧氏）平面可作为向量空间最好的的一些良好的性态能拓广到向量空间中去，但迄今向量空间只有向量的运算（如加法、数乘）性质，的内积（或称数量积）来表示.而向量的内积有明显的代数性质，内积，建立起具有度量的欧氏空间。熟悉的（欧氏）空间背景和模型.我们自然希望所具有的向量的度量（如长度、正交）性质.但向量尚没有的度量性质在许多问题（其中包括几何问题）有着特别重要的地位，因而有必要在向量空间中引入度量的概念

2、.在解系几何中，几何空间（即）向量的长度与正交等度量性质都可以通过向量所以取内积作为基本概念，在实数域R上的向量空间中导入.实数域R上的向量空间中的任意两个向量称称为向量α与β的内积.定义称为欧几里得(Euclid)空间，简称为定义了内积的向量空间欧氏空间.例在欧氏空间中，设求与解.欧氏空间的内积适合性质（1）（2）（3）（4）且这里是中任意向量，k是任意实数.我们只对性质（4）作说明，其余可由定义直接得到。设则所以且由于内积的性质所以对欧氏空间中任意向量α而言是实数，故可借此引入向量长度的概念.设α为欧氏空间的一个向量，则非负实数称为向量

3、α的长度，记为此定义下有定义这样定义的长度和几何空间中的向量长度是一致的，且符合熟知的性质：此处长度为1的向量称为单位向量，若我们知就是一个单位向量.用非零向量的长度的倒数去乘向量，得到一个与同方向的单位向量，通常把这过程称为把向量单位化（或标准化）.下面用内积来引入向量另一个度量概念.定义设是欧氏空间两个向量，若则称α与β正交（或互相垂直），记为例在欧氏空间中常用基为直接计算知这表明中常用基是两两正交长度为1的向量组成.特别地在中这种基就构成直角坐标系.而直角坐标系使用起来特别方便，所以下面就研究有这种性质的基.我们先引入一个概念..定义

4、欧氏空间的一组两两正交的非零向量称为的一个正交向量组.性质设是欧氏空间的一个正交向量组，则线性无关.证设有一组数使得用与等式两边的向量作内积，利用时有可得：因为故从而这就证明了线性无关.注意:本性质的逆命题不成立，即线性无关的向量组未必是中的就是线性无关但是非正交的向量组。这同时说明正交向量组正交向量组.的概念比线性无关向量组更强.如.定义在中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基，称为标准正交基（或规范正交基）.容易看出如有了正交基，则对其单位化即可得到标准正交基.就是一组标准正交基.而常用基据定义有为一组标准正交

5、基据此，在欧氏空间中检验一组基是否标准正交基可如下进行：记利用有为的一组标准正交基.对具有这样性质的矩阵我们用一个专门术语来称上述性质定义n阶实矩阵A称为正交矩阵，若据此定义有下述性质性质在欧氏空间中，为标准正交基为正交矩阵..例设欧氏空间中（1）证明：是的一组标准正交基.求及（2）若解（1）方法一计算由定义直接推出结论.方法二记因所以结论也成立..(2)由（1）知，是标准正交基，在该基下坐标为所以有故.上述表明使用标准正交基在计算中确有方便之处.然而在中不是所有的基都是标准正交基，我们指出：欧氏空间的任何一组基均可以改造成标准正交基.介绍

6、这个结论要涉及一个概念.定义若向量组中每一个向量都可经向量组线性表示，则称向量组可经向量组线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价.定理对于n维欧氏空间中任意一组基都可以且使得与等价，（证明略，详见教材）找到一组标准正交基下面通过一个例子来给大家介绍如何用施密特正交法把任意一组基化为与之等价的标准正交基.例用施密特正交法将的一组基改造成一组标准正交基.解取再单位化得就是所求的的一组标准正交基.至此我们所讨论的向量空间是指，欧氏空间是指其实和仅仅是向量空间和欧氏空间的一个具体背景，一般的向量空间（称为线性空间）和欧氏空间范

7、围更为广泛，有兴趣的读者可以参考教材的附录六.作业：（注：每周一早上8点交作业）P1475、6.§5.5概要与小节1．我们是从（欧氏）平面（欧氏）空间经概括，拓广，则W中的任一向量无非是的线性组合，而关于n元向量之间的线性关系和性质实际上都可归结为方程组向量空间的.向量空间最基本，也是最重要的概念是而引入向量空间它的基和维数.如我们知道了向量空间W的维数为r，一组基为即的理论来解决.2．附录六已阐明向量空间仅仅是线性空间的一个背景，也就是说可以从n元向量、矩阵、多项式、一元单值函数、数域更为广泛的背景上来进行概括、升华。即把这些从表面上看起

8、来很不相同的数学研究对象（代数系统），摒弃了它们的一些自己复习一下.具体的个别的属性，抽象出它们共有的属性：一个非空集合，两个封闭的运算，8条运算规律，以公理化的方式建立起数域P