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1、2.4空间直角坐标系§2.4.1空间直角坐标系XxO数轴上的点可以用唯一的一个实数表示-1-2123AB数轴上的点思考:平面中的点可以用有序实数对(x,y)来表示点xyPOxy(x,y)平面坐标系中的点思考:yOxz思考:在教室里同学们的位置坐标以单位正方体的顶点O为原点,分别以射线OA,OC,的方向为正方向,以线段OA,OC,的长为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系。一、空间直角坐标系:yxzABCO点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xoy平面、yoz平面、和zox平面.ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ
2、•O空间直角坐标系共有八个卦限二、空间直角坐标系的划分:思考:空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示?三、空间点的坐标:设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.yxzM’OMRQP三、空间点的坐标:设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.yxzM’OMRQP小提示:坐标轴上的点至少有两个坐标等于0;坐标面上的点至少有一个
3、坐标等于0。点P的位置原点OX轴上AY轴上BZ轴上C坐标形式点P的位置XOY面内DYOZ面内EZOX面内F坐标形式•Oxyz111•A•D•C•B•E•F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)四、特殊位置的点的坐标:xoy平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为0(1)坐标平面内的点:(2)坐标轴上的点:规律总结:•Oxyz111•A•D•C•B•E•F练习1、如下图,在长方体OABC-D`A`B`C`中,
4、OA
5、
6、=3,
7、OC
8、=4,
9、OD`
10、=3,A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C,B`,P的坐标.zxyOACD`BA`B`C`PP`343想一想:在空间直角坐标下,如何找到给定坐标的空间位置?D(1,3,4)zxyO在空间直角坐标系中标出D点:D(1,3,4)134D`D思考:点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点(1)与点M关于x轴对称的点:(2)与点M关于y轴对称的点:(3)与点M关于z轴对称的点:(4)与点M关于原点对称的点:(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)五、空间点的对称问题:规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。思考:点M
11、(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点(5)与点M关于平面xOy的对称点:(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)五、空间点的对称问题:规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。(6)与点M关于平面yOz的对称点:(7)与点M关于平面zOx的对称点:§2.4.2空间中两点的距离公式X长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?在空间直角坐标系中点O(0,0,0)到点P(x0,y0,z0)的距离,怎么求?zxyOP(x,y,z)(1)在空间直角坐标系中,任意一点P(x,y,z)到原点的距离:P`(x,y,0)两点间距离公式类比猜想(2)在空间直角坐标系中,任意两点P1(x1,y1,z
12、1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):二、空间中点坐标公式:例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5),求:(1)三角形三边的边长;解:例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5),求:(2)BC边上中线AM的长。解:证明:原结论成立.例2:求证以,,,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.设P点坐标为所求点为例3:设P在x轴上,它到的距离为到点的距离的两倍,求点P的坐标。解:练习1、在空间直角坐标系中,求点A、B的中点,并求出
13、它们之间的距离:A(2,3,5)B(3,1,4)(2)A(6,0,1)B(3,5,7)2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。