解三角形全章教案(整理).pdf

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1、数学5第一章解三角形第1课时课题:§1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的

2、对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？BCⅡ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函abc数的定义，有sinA，sinB，又sCin,1cccAabc则cbcsinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中，CaBsinAsinBsinC(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立

3、？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数ab的定义，有CD=asinBbsinA,则，CsinAsinBcb同理可得，basinCsinBabc从而AcBsinAsinBsinC(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则jABj(ACCB)AB∴jABjACjCBjjABcos900A0jCBcos900Cac∴

4、csinAasinC，即sinAsinCbc同理，过点C作jBC，可得sinBsCinabc从而sinAsinBsinC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；abcabcbac（2）等价于，，sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBsi

5、nAsinC从而知正弦定理的基本作用为：bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；sinBa②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；sinAsin32.00根据正弦定理，asinC42.9

6、sin66.20c74.1(cm).sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，bsinA28sin400sinB0.8999.a20因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴当B640时，C1800A(B)10800(40064，0)76asinC20sin760c30(cm).sinAsin400⑵当B1160时，C1800A(B)10800(400116，0)24

7、asinC20sin240c13(cm).sinAsin400评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：abcabckk0；sinAsinBsinCsinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)（2）正弦定理的应用范围