高中数学 251《平面几何中的向量方法》课件 新人教A版必修.ppt

《高中数学 251《平面几何中的向量方法》课件 新人教A版必修.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章平面向量第五节平面向量应用举例第一课时平面几何中的向量方法因为有了运算，向量的力量无限，如果不能运算，向量只是示意方向的路标．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCDDB＝AB－AD．AC＝AB＋AD，猜想：长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？类比猜想：平行四边形有相似关系吗？ABCD分析：不妨设AB＝a，A

2、D＝b．则AC＝a＋b，DB＝a－b．ab

3、AB

4、2＝

5、a

6、2，

7、AD

8、2＝

9、b

10、2．遇到有关长度的问题时，我们常常需要考虑向量的数量积．ABCD解：ab

11、AC

12、2＝AC·AC＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝

13、a

14、2＋2a·b＋

15、b

16、2．同理　

17、BD

18、2＝

19、a

20、2－2a·b＋

21、b

22、2．所以　

23、AC

24、2＋

25、BD

26、2＝2(

27、a

28、2＋

29、b

30、2)＝2(

31、AB

32、2＋

33、AD

34、2)．1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3)把运算结果“翻译”成几何元素．用向量方

35、法解决平面几何问题的“三步曲”：可简单的表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR＝RT＝TCABCDEFRT解：第一步：[形到向量]设　　　　　　　　　　　　　　　　则AB＝a，AD＝b，AR＝r，AT＝t，AC＝a＋b．第二步：[向量的运算]由于AR与AC共线，故设r=n(a+b)，n∈R．又因为ER与EB共线，所以设ER＝mEB＝m(a－b)，12ABCDEFRT因为AR＝AE＋ER，所以r＝b＋m(a－b)

36、，1212因此n(a+b)＝b＋m(a－b)，1212即(n－m)a＋(n+　　)b＝0m-12由于向量a，b不共线，n－m＝0n＋　　＝0m-1213解得：n＝m＝　．ABCDEFRT所以AR＝AC，13同理TC＝AC，13于是RT＝AC，13第三步：[向量和数到形]故AT＝RT＝TC．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+BE23＝CB+　(CA-CB)2312＝　(CB+CA)13已知：AD、BE、CF是

37、△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD、BE、CF交于一点．所以CG＝CF，23＝　(CB＋CA)13即CG又因为CF＝　(CB＋CA)．12ABCDEGF已知△ABC的三个顶点A(x1，y2)，B(x1，y2)，C(x1，y2)，则重心G的坐标为____________________．(　　　　，　　　　)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋AG＝OA＋AD23＝OA＋　(AB＋AC)13＝OA＋　(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：设原点为O，则用向量法证明：三角形三条高线交于一点．ABCDEHF

38、证明：设H是高线BE、CF的交点，且设AB＝a，AC＝b，AH＝h，则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a＝0．化简得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因为BH⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三条高线交于一点．已知点A(1，0)，直线l：y=2x－6，点R是直线l上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，R(x1，y1)所以，点P的轨迹方程为y＝2x．则RA＝(1-x1，-y1)，AP＝(x-1，y)，由RA＝AP得(1-x1，-y1)＝2(x-1，y)，即x1＝-2x+3，y1＝-2y代入直线l的方程得y＝2x．△ABC中，D

39、、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b．(1)用a、b表示向量AO．(2)证明A、O、E三点在同一直线上，且有＝　　＝　　＝2AOOEBOOFCOOD四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝h，DA＝h，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试判断四边形ABCD的形状．参考答案：四边形ABCD为矩形．