成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式.pdf

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1、第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).f(x)xD2.分段函数:y1g(x)xD23.隐函数:F()=04.反函数:(x)→φ(y)1(y)1(x)定理:如果函数:(x),D(f),Z(f)是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：1(x),D(1),Z(1)且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:(x)∈、x∈D12当x＜x时,若f(x)≤f(x),1212则称f(x)在D内单调增加()；若f(x)≥f(x),12则称

2、f(x)在D内单调减少()；若f(x)＜f(x),12则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x)＞f(x),12则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f()(x)奇函数：f()(x)3.函数的周期性：周期函数：f()(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：(x)

3、≤M,x∈()㈢基本初等函数1.常数函数：，(c为常数)2.幂函数：,(n为实数)3.指数函数：,(a＞0、a≠1)4.对数函数：x,(a＞0、a≠1)5.三角函数：x,xx,xx,x6.反三角函数：x,xx,x1

4、/40㈣复合函数和初等函数1.复合函数：(u),φ(x)[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:limyAnn称数列y以常数A为极限;ny或称数列n收敛于A.y定理:若的极限存在y必定有界.nn2.函数的极限：x⑴当时，f(x)的极限：limf(x)Axlimf(x)Alimf(x)Axxf(x)⑵当xx时，的极限：0limf(x)Axx0

5、limf(x)A左极限：xx0limf(x)A右极限：xx0⑶函数极限存的充要条件：limf(x)Alimf(x)limf(x)A定理：xxxxxx000㈡无穷大量和无穷小量limf(x)1.无穷大量：称在该变化过程中f(x)为无穷大量。2/40X再某个变化过程是指：x,x,x,xx,xx,xx000limf(x)02.无穷小量：f(x)称在该变化过程中为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系：1定理：limf(x)0lim,(f(x)0)f(x)4.无穷小量的比较：li

6、m0,lim0⑴若lim0,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若limc（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若lim1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。~，~；定理：若：1122limlim11则：22㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：yxz设：（1、2、3…）nnnlimylimza且：nnnnlimxa则：nn2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x的某个邻域内的一切点0（点x除外）有：0g(x)f(x)

7、h(x)limg(x)limh(x)A且：xxxx00limf(x)A则：xx03/40㈣极限的运算规则limu(x)A,limv(x)B若：lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB则：①lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB②u(x)limu(x)A(limv(x)0)③limv(x)limv(x)Blim[u(x)u(x)u(x)]推论：①12nlimu(x)limu(x)limu(x)12nlim[cu(x)]climu(x)②lim[u

8、(x)]n[limu(x)]n③㈤两个重要极限sinxsin(x)lim11．limx1或(x)0(x)x0112．lim(1)xelim(1x)xexxx0§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性xf(x)x1.函数在处连续：在的邻域内有定义，00limylim[f(xx)f(x)]01o00x0x0limf(x)f(x)2o0xx0limf(x)f(x)左连续：0xx0limf(x)f(x)右连续：0xx0x2.函数在处连续的必要条件：0f(x)xf(x)x定理：在0处连续在0

9、处极限存在4/40x3.函数在处连续的充要条件：0limf(x)f(x)limf(x)limf(x)f(x)定理：00xxx