成人高考专升本高级数学二概念和笔记公式

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1、函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义：v=f(x),xWD定义域：D(f),值域：Z(f).ff(X)XG£>.2•分段函数：y=<'J[g(x)xeD23.隐函数：F(x,y)=04.反函数：y二f(x)—x=d(y)=f：(y)y=f_1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f_1(x),D(f_,)=Y,Z(f_,)=XH也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1•函数的单调性:

2、y二f(x),xWD,xi、x?WD当xif(X2),则称f(x)在D内严格单调减少(。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点対称偶函数:f(-X)=f(x)奇函数:f(-X)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数:f(x+T)=f(x),xW(-8,+oo)周期：T——最小的正数4.函数的有界性:

3、f

4、(x)

5、WM,xe(a,b)㈢基本初等函数1•常数函数：y二c,(c为常数)2.幕函数：y=x",(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a>OxaHl)4.对数函数：y=logax,(a>0>aHl)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y二cotxy二secx,y=cscx6•反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y二arccotx㈣复合函数和初等函数1•复合函数：y二f(u),u二e(x)y=f[4>(x)],xex2.初等函数：由基本初等函数

6、经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的，并且能川一个数学式子表示的函数§1.2极限—>主要内容㈠极限的概念1.数列的极限：lim儿=人«->00称数列｛儿｝以常数A为极限;或称数列｛yn｝收敛于a.定理若｛yn｝的极限存在二>｛儿｝必定有界.2.函数的极限：⑴当XToo时，f(x)的极限：lim/(x)=尸00八、人ohm/(x)二人lim/(%)=A28八7X->+00丿⑵当兀TX。时，/(%)的极限：lim/(x)=AXT"。左极限：lim/(x)=A兀一>呵右极限：lim/(

7、兀)=4”一>必⑶函数极限存的充要条件：定理：lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A兀~X。X-XqX-(-)无穷大量和无穷小量1•无穷大量:lim

8、/(x)

9、=+oo称在该变化过程'l'f(x)为无穷人量。X再某个变化过程是指：XT-oqXT+oqX—爲XTX爲XT%。2.无穷小量：lim/(x)=0称在该变化过程屮/(X)为无穷小量。lim/(x)=0<=>lim=+O(/(x)h0)3.无穷人量与无穷小量的关系:定理:4.无穷小量的比较：lima=O,lim0=0⑴若lim

10、A=0，则称B是比a较高阶的无穷小量；a⑵若lim2=c(c为常数)，则称B与a同阶的无穷小量；a⑶若lim@=l,则称B与a是等价的无穷小量，记作：B〜Xa⑷若lim©=00,则称B是比a较低阶的无穷小最。a定理：若：0〜色〜禹;=lim㈢两面夹定理1.数列极限存在的判定准则：设：儿5兀n—S(n=K2、3…)K：lim"—>00儿=limJ=a"TOOW'J：lim川T8乙=a2.函数极限存在的判定准则：设：对于点X。的某个邻域内的一切点(点Xo除外)有：g(x)

11、mg(x)=limh(x)=Ax->xQx—>x0则：lim/(x)=A(四)极限的运算规则若：limw(x)=A,limv(A：)=B贝q：①lim[u(x)±v(x)]=limw(x)±limv(x)=A±B②lim[w(x)-v(x)]=limw(x)-limv(x)=AB③"(X)二hm型=4(limV(X)丰0)v(x)limv(x)B推论：①lim[%O)±U2(x)土•…土知(x)]=limwj(x)±limu2(兀)±・••土lim冷(%)②lim[c・u(x)]=c・limu(

12、x)③lim[u(x)]n=[limu(x)]n（五）两个重要极限..sinx1.lim…°%lim0(x)—>osin0(x)0(x)=1lim(14-x)x=extO2.lim（1+—）A=e§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在兀0处连续：/（兀）在*0的邻域内有定义,1°limAy=lim[/(x0+Ax)-/(x0)]=0AxtOAxt()2olim/(x)=/(x0)XT")左连续：旣/⑴=g）右连<：：lim/(x)=f(x0)()2.函数在人）处连续的必要条件：定理：/