武汉大学 计算方法课件.ppt

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1、1．要使用数值稳定的算法例4：求（n=0,1,2,…,8）的值。解：由于初值§1.3数值计算中应该注意的一些原则递推公式（1.8）注意此公式精确成立按(1.8)式就可以逐步算出Whathappened?!不稳定的算法！由递推公式（1.8）可看出，In-1的误差扩大了5倍后传给In，因而初值I0的误差对以后各步计算结果的影响，随着n的增大愈来愈严重。这就造成I4的计算结果严重失真。这就是误差传播所引起的危害!改变公式：将公式变为不妨设I9I10，于是由可求得I90.017，按公式（1.9）可逐次求得（1.9）I80.019I70.021I60

2、.024I80.028I40.034I30.043I20.058I10.088I00.182稳定的算法！在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。2．要避免两个相似数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。（1.10）的值。当x=1000，y的准确值为0.015801、直接相减2、将（1.10）改写为则y=0.01581例5:求类似地3.避免大数吃小数例7：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指

3、数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+109再利用5.绝对值太小的数不宜作除数例6：如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时4.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。第二章非线性方程的数值解法(NumericalMethodsofN

4、onlinearEquations)§2.1二分法(BisectionMethod)原理：若f(x)C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)上必有一根。abx1x2a1b2x*b1a2停机条件（terminationcondition）：或执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则x1即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)与f(a)同号，则知

5、解位于区间[x1,b]，a1=x1,b1=b。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…4、当时5、则即为根的近似定义f(x)f(a)f(b)>0f(a)f(b)=0f(a)=0打印b,k打印a,k结束是是是否否否m=(a+b)/2

6、a-b

7、<f(a)f(b)>0打印m,ka=mb=m结束k=K+1是是否否输入k=0误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：Remark1：求奇数个根Findsolutionstotheequationx3-

8、6x2+10x-4=0ontheintervals[0,4]，Usethebisectionmethodtocomputeasolutionwithanaccuracyof10-7.Determinethenumberofiterationstouse..[0,1],[1.5,2.5]and[3,4]，利用前面的公式可计算迭代次数为k=23.例1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过10－6解：f(1)=-5<0有根区间中点f(2)=14>0-(1,2)+f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(

9、1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)f(1.5)>0(1,1.5)Remark2:要区别根与奇异点Considerf(x)=tan(x)ontheinterval(0,3).Usethe20iterationsofthebisectionmethodandseewhathappens.Explaintheresultsthatyouobtained.（如下图）Remark3:二分发不能用来求重根（1）简单;（

10、2）对f(x)要求不高(只要连续即可).（1）无法求复根及重根（2）收敛慢（3）不能区别根与奇异点小结：f(