数理方程之微积分知识复习课件.ppt

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1、2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼茨(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述

2、二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例1.求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:例5.求函数解:注意:此处但这一结论

3、并不总成立.的二阶偏导数及第九章一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为二、梯度方向导数公式令向量1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,

4、z具有轮换对称性(1992考研)高斯公式其中为曲面的外法线方向余弦设向量场定义向量场的散度为：则高斯公式可以写为环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为引进一个向量记作向量rotF称为向量场F的于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation重要公式：从而偏导数开三度:梯度、旋度、散度梯度散度旋度一统微积分，此式一出，谁与争锋，唯我独尊！高次的微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在低一维的区域边界上的积分.设则其中为边界的外法线方向。Gauss-Green公式：设则其中为边界的外法线方向。格林公式设1、设求它的梯度作业2、求

5、3、证明：