弹性力学及有限元法 课件.ppt

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1、第八章等参数单元要点采用等参数单元的意义等参数名称的来由如何根据形函数的特性建立位移函数数值积分采用高斯积分法§8-1如何提高有限元法计算精度—采用等参数单元第八章等参数单元8-1-1采用等参数单元的意义1.找到结构物实际变形的模式，然后取与实际变形模式一致的单元离散结构物。2.从三角形单元到矩形单元，随着单元位移函数中变量幂次的增加则单元内应力位移的计算精度提高，所以就需要找一些高阶的多项式作为单元的位移模式建立新的单元。常用的多项式是根据杨辉三角形的次序建立的。3.由于项数取得多就必须增加单元的自由度，即增加单元节点，于是就出现了等参数单元。8-1-2等参

2、数单元第八章等参数单元每一种等参数单元有二种形式：一种形式在局部座标ξη或ξηζ中，是以边长为2的正方形单元或边长为2的立方体单元用作计算称为母单元；另一种形式在整体座标xy或xyz中，通过母单元映射到整体座标上的单元用于离散结构物称为子单元。由于母单元上的位移函数与座标变换的函数具有相同的参数。这就是等参数单元名称的来由。母单元的位移函数:座标变换的映射关系:第八章等参数单元§8-2平面等参数单元8-2-1四边形四节点等参数单元四边形四节点单元位移模式:其中母单元若以母单元上12边为例，通过映射可得在平面内任一直线，12边的方程为η=-1,代入第八章等参数单

3、元通过局部座标与整体座标的映射关系把母单元变换到整体座标上成为一个任意四边形用于离散结构物，它能适合于任意曲边的形状。同理可得第八章等参数单元把以参数ξ代表的x方程和y方程消去ξ，则得x,y所组成的直线方程y=kx+b所以母单元上的四个边都可以通过映射在x,y座标面上得出一个任意四边形，用该四边形离散结构物。四边形四节点单元的应变第八章等参数单元i=1,2,3,4其中其中第八章等参数单元由于形函数N是x,y的函数，现对ξ,η求导，这是复合函数求导把上二式写成矩阵形式其中第八章等参数单元称为雅可比(Jacobian)矩阵为了把[Bi]矩阵中的Ni,x和Ni,y化

4、成Ni,ξ和Ni,η，则代入下式其中雅可比矩阵的逆阵由下式给出也可把形函数Ni对的ξ,η偏导数写成通式:i=1,2,3,4第八章等参数单元四边形四节点单元的应力对于平面应力情况第八章等参数单元四边形四节点单元的刚度矩阵[K]e:[K]e可划分成四行四列的子矩阵:i,j=1,2,3,4对于平面应力情况:第八章等参数单元等效节点力计算:1.集中力的等效节点力:由于计算复杂，把有集中力处设置为节点。2.体枳力的等效节点力:3.表面力的等效节点力:第八章等参数单元展开后i=1,2,3,4单元上某一点的节点力由于表面力的运算是曲线积分，所以常把qx,qy化成切线,第八章

5、等参数单元展开后单元上某一点的节点力i=1,2,3,4第八章等参数单元把用σ,τ表示qx,qy的代入i=1,23.4若以母单元上的34边为例，则η=1i=3,4母单元是以2为边长的正方形具有八个节点，由于节点多，则采用的多项式也可多，因此它具有更高的精度，它对应的子单元在直角坐标x,y中是一个曲边四边形。第八章等参数单元8-2-2四边形八节点等参数单元可知，N1(ξ1,η1)=1,N1(ξj,ηj)=0(j=2,3,4,5,6,7,8)从母单元上可知直线263,直线374,直线58,通过(2,3,4,5,6,7,8)点,它们的方程分别为ξ=1,η=1,ξ+η+

6、1=0，可构造下列连乘式(ξ–1)(η-1)(ξ+η+1)是双二次函数第八章等参数单元四边形八节点等参数单元的位移模式:根据形函数的性质，构造形态函数Ni(i=1,2,3,……8)，可知形函数的幂次与位移函数一致，是一个双二次函数，所以Ni(ξ,η)也是一个双二次函数。现在构造N1(ξ,η)。由形函数的性质因此确定了N1有上述形式，且满足在(2,3,4,5,6,7,8)点等于0，但是还必须满足N1在1点等于1，所以N1可由下式表达:第八章等参数单元同理可得构造N5(ξ,η)，它在点1,2,3,4,6,7,8的值为0,线14,线34,线23过上述七点,它们的方程

7、分别为ξ+1=0,η-1=0,ξ-1=0,由上述三个方程(ξ+1)(η-1)(ξ-1)连乘构成N5(ξ,η),它必须满足N5(ξ,η)在点5等于1。第八章等参数单元同理可得得到了形函数后，母单元与子单元的转换关系也可得到:x=ΣNixi,,y=ΣNiyi根据上二式可把ξ,η座标下正方形母单元转换成在x,y座标中的曲边四边形第八章等参数单元由形函数的性质所构造的单元位移模式，也必须满足ΣNi=1所以八节点四边形的位移模式如下:第八章等参数单元若母单元上任一边263，其方程为ξ=1，通过映射可得在x，y座标中的一抛物线。由于x=ΣNixi,把Ni代入同理可得消去η

8、，可得一抛物线方程i=1,2,3,4,