天津大学《概率论与数理统计》多维随机变量连续 课件.ppt

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1、(X,Y)是二维连续型随机变量二维连续型随机变量X是(一维)连续型随机变量类比·位于xOy面上方的曲面.·它与xOy面围成的空间区域体积为1.·随机点(X,Y)落在平面区域D内的概率=以D为底、曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积=F(+,+)非负性规范性x(-,+)随机变量X的分布函数F(x)f(x)是X的概率密度二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)f(x,y)是X和Y的联合概率密度⑶P(0

2、X1,0

3、,y1时，v=u10uv1当x1,0y<1时，v=u10uv1当x1,y1时，F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0x<1,0y

4、质点，四、两个常见的二维分布1.均匀分布B若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布..例6设(X,Y)~G上的均匀分布,f(x,y);P(Y>X2);(X,Y)在平面上的落点到y轴距离小于0.3的概率.例6求解(1)y=x10xy1G(2)y=x2(3)y=x10xy10.3例7甲乙约定8:009:00在某地会面.假设两人都在这期间的任一时刻随机到达，先到者最多等待15分钟后就离开.求两人能见面的概率.6060若二维随机变量

5、(X,Y)具有概率密度其中均为常数,2.正态分布则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布.记作(X,Y)～N().且二维正态分布剖面图§2边缘分布联合分布F(X,Y)（X,Y）整体地看局部地看FY(y)FX(x)XY二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.问题：二者之间有什么关系吗?分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数但作为一维随机变量,X,Y也有自己的分布函数.由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布反之?转化为一维时的情形FX(x)=F(x,

6、+)X和Y的联合分布函数为F(x,y),则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为二、连续型二维随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为例2设(X,Y)的概率密度是解求边缘密度.分段函数积分应注意其表达式yx01y=xy=x2在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.yx-a0a例设(X,Y)服从椭圆域上的均匀分布,求(1)求(X,Y)的边缘

7、密度函数解(1)由题知(X,Y)的概率密度为同理可得(2)(2),其中A为区域:X与Y不服从均匀分布二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布yxa0aAx+y=a解例4求二维正态分布的边缘密度.～～二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布均与无关逆命题成立吗？由边缘分布一般不能确定联合分布请看下例例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为求边缘密度函数解同理～～但反之不真二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真

8、联合分布和边缘分布的关系:我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段,介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.在什么情况下,由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？正态分布的联合分布未必是正态分布(3)定理设随机变量X与Y相互独立，令其中为连续函数，则U与V也相互独立．(2)二维正态随机变量X与Y相互独立证:必要性对任何x,y有取X与Y相互独立附：故将代入即得所以X与Y相互独立充分性