全国大学数学竞赛解析几何知识培训课件.ppt

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1、空间解析几何2013年大学数学竞赛相关知识复习雷澜1、相关知识要点2、往年实际赛题演练3、模拟赛题演练本讲内容1.1.1平面的点法式方程而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)yxzM0MnO对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.nM0M=0设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.1.1.平面的方程1.1.2平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程Ax+By+Cz+D=0都表示平面,

2、且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.(3)即平面的截距式方程。1.1.3平面的截距式方程(3)1.1.4平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行

3、于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0.一.2空间直线的方程空间直线可看成两平面的交线．(4)称为空间直线的一般方程1.2.1空间直线的一般方程1.2.2直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量s={m,n,p}所以得比例式(5)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.//1.2.3空间直线的参数式方

4、程得:(6)称为空间直线的参数方程.(6)令直线的一组方向数定理如果两个平面2：A2x+B2y+C2z+D2=01：A1x+B1y+C1z+D1=0交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的方程为m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）一.3平面束解:所求直线L看以看做过L1且垂直于的平面1与平面的交线.例1*求直线在平面内的投影直线L的方程.则由例1可得L1L1投影直线L的方程为:例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2的平

5、面的方程。解：设所求平面的方程为3x+y-z+λ=0因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2).由此得2+λ=0,即λ=-2故所求平面的方程为3x+y-z-2=0例3求过直线L和点M0(1,2,3)的平面方程.解设的方程为：(*)例4试证两直线在同一平面上的充要条件是与证因为通过的任意平面的方程为其中是不全为零的任意实数；而通过的任意平面为其中是不全为零的任意实数。因此两直线在同一平面上的充要条件是存在不全为零的实数使(1)与(2)的左端仅相差一个不为零的数因子，即化简整理得所以因为不全为零，所以得而因此两直线共面

6、的充要条件为即例5设三平面的方程：其中为参数，试求（1）三平面交于一点的充要条件；（2）三平面通过同一直线的充要条件；（3）三平面无公共点的充要条件。解（1）三平面交于一点，就是由三平面的方程构成的方程组有惟一解的问题，从代数学中知道，其充要条件为其系数行列式不为零。即（2）三平面通过同一直线，由(1)知必有且平面属于以的交线为轴的平面束，因此有由此得解得因此三平面通过同一直线的充要条件为（3）由(1)与(2)知，三平面无公共点的充要条件为观察柱面的形成过程:定义4.1.1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲

7、线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.1.4柱面母线准线母线准线一般柱面注意：柱面的准线不唯一。设柱面的准线为母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(10)从（9）（10）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以（7）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。例1.4.1解法一母线的方向数即为轴的方向数1，－2，－2.问题也就解决了.因为圆柱面的母线平行于其轴，所以如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用前面

8、的解法，因为空间的圆,总可以看成是某一球面与某一平面的交线.已知圆柱面的轴为，在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.点(0,1,-1)（1,-2,1）这里的圆柱面的准线圆，可以看成是(0,1,-1)为中心，以轴上的点点(0,