2019年高考数学总复习检测第15讲　导数的概念及运算.doc

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1、第15讲　导数的概念及运算1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(C)A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)x>0，f′(x)＝2x－2－＝>0，所以x∈(2，＋∞)．2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(B)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)

2、B>kA，即f′(xA)

3、由f′(x0)＝f(x0)，得＝lnx0＋tanα，所以tanα＝－lnx0.又01，即tanα>1，又α∈(0，)，所以α∈(，)．5．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为　1　.因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.6．(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数f(x

4、)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝　1　.因为y′＝3ax2＋1，所以y′

5、x＝1＝3a＋1，所以＝3a＋1，所以a＝1.7．(2016·四川卷改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，求△PAB的面积的取值范围．由图象易知P1，P2位于f(x)的两段上，不妨设P1在f(x)＝－lnx，x∈(0,1)的图象上，P2在f(x)＝lnx(x>1)的图象上，设P1(x1，－lnx1)，x1∈(0,1)，P2(

6、x2，lnx2)，x2∈(1，＋∞)，则l1：y＋lnx1＝－(x－x1)，l2：y－lnx2＝(x－x2)．由l1⊥l2知，－·＝－1，所以x1x2＝1.又l1，l2分别与y轴交于点A，B，所以A(0,1－lnx1)，B(0，－1＋lnx2)．由得P点的横坐标x＝.所以S△ABP＝×

7、1－lnx1＋1－lnx2

8、×＝

9、2－lnx1x2

10、×＝＝.因为x1∈(0,1)，所以x1＋>2，所以0<<1.即△PAB的面积的取值范围是(0,1)．8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直

11、，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(A)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B，y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，因为x＞0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C，y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x

12、2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；对于D，y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.9．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则a，b的值分别为　4,24　.f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f(2)＝8，f′(2)＝0，即8－6a＋b＝8,3(4－a)＝0，故a＝4，b＝24.10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

13、(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.