2019年高考数学总复习检测第15讲　导数的概念及运算.pdf

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1、第15讲　导数的概念及运算1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(C)A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)42x－2x＋1x>0，f′(x)＝2x－2－＝>0，xx所以x∈(2，＋∞)．2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(B)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)

2、的斜率分别为kA，kB，则由图象可知kB>kA，即f′(xA)

3、)成立的2x0满足x0<1，则α的取值范围为(B)πππA．(0，)B．(，)442πππC．(，)D．(0，)64311因为f′(x)＝，所以f′(x0)＝，xx01由f′(x0)＝f(x0)，得＝lnx0＋tanα，x01所以tanα＝－lnx0.x01又01，即tanα>1，x0πππ又α∈(0，)，所以α∈(，)．2425．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为1.1因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a

4、－1.x又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.6．(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝1.因为y′＝3ax2＋1，所以y′

5、x＝1＝3a＋1，7－a＋2所以＝3a＋1，所以a＝1.2－17．(2016·四川卷改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝Error!图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分

6、别与y轴相交于点A，B，求△PAB的面积的取值范围．由图象易知P1，P2位于f(x)的两段上，不妨设P1在f(x)＝－lnx，x∈(0,1)的图象上，P2在f(x)＝lnx(x>1)的图象上，设P1(x1，－lnx1)，x1∈(0,1)，P2(x2，lnx2)，x2∈(1，＋∞)，11则l1：y＋lnx1＝－x1(x－x1)，l2：y－lnx2＝x2(x－x2)．11由l1⊥l2知，－·＝－1，所以x1x2＝1.x1x2又l1，l2分别与y轴交于点A，B，所以A(0,1－lnx1)，B(0，－1＋lnx2)．由Error!

7、2得P点的横坐标x＝.x1＋x212所以S△ABP＝×

8、1－lnx1＋1－lnx2

9、×2x1＋x2122＝

10、2－lnx1x2

11、×＝＝.x1＋x2x1＋x21x1＋x112因为x1∈(0,1)，所以x1＋>2，所以0<<1.x11x1＋x1即△PAB的面积的取值范围是(0,1)．8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(A)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，

12、f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；111对于B，y′＝，若有xx1·x2＝－1，即x1x2＝－1，因为x＞0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C，y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；对于D，y′＝3x2，若有3x21·3x2＝－1，即9xx212＝－1，显然不存在这样的

13、x1，x2.综上所述，选A.9．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则a，b的值分别为4,24.f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f(2)＝8，f′(2)＝0，即8－6a＋b＝8,3