安徽建筑工程学院计算结构力学课件.ppt

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1、第二章功能原理计算结构力学1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的等价性。2-1概述:学习功能原理的目的一、基本知识1、静力加载(比例加载)。2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能。3、功能方程(前提：①静力加载；②无耗散功δQ=0)：在微小的

2、δt内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：δW=δU。4、总势能：结构的形变势能+荷载势能Π=U+V二、先修有关概念1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移态上所做的功恒等于零的那种约束。3、虚功δW*=F·δu*(1)虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。2-2虚位移原理一、几个概念4、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功)。式中：σ：力F所引起的应力(力态)；δε*：虚位移δu*所引起的虚应变(虚设的位移态)。(2)虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态

3、的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功δW*等于虚变形功δU*(虚应变能，内力虚功)。研究对象：实际的力态。虚设：位移态(满足变形协调条件)。于是，虚功原理可表述为：体系平衡δW*=δU*(3)其中Δ：在虚设的任一几何可能的位移态上。二、虚位移原理及其证明证明：以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。对结点1，由平衡条件ΣX=0:P1-F12=0对结点2，由平衡条件ΣX=0:P2-F21-F23=0’’’’’(4)外力虚功为：式中：δ——表示微小，*——表示虚设。虚应变能为：注意:虽

4、然是就上述特殊情况进行的证明，但可推广到其它的受力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。关于虚位移原理的讨论：1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态；2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设)的几何可能上；3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调；4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。2-3虚应变能与外力虚功利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能δU*和各种荷载的外虚功δW*，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表达式。一、虚应变能这里，“*”表示“虚设”，δ为一阶变分算子，“δ”与“d”的运算规律相同，意义类似，δ亦可看成是“微小”。3、虚应

5、变能(内力虚功)1、虚位移2、虚应变忽略剪切应变(5)(6)1）、轴向拉压实际的力态σx；虚设的位移态δu*，所引起的虚应变为(7)2）、弯曲实际的力态Mz；虚设的位移态则(8)对于三维应力状态。设实际的力态为：虚设的位移态为：则虚应变能为:对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：(9)与前述单独变形的结果一致。1、集中荷载情况实际的力态Pi虚设的位移态则2、分布荷载情况实际的力态q(x)虚设的位移态则3、既有1又有2的情况，则δW*为1与2之和。(10)(11)二、外力虚功2-4虚位移原理的应用应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。虚位移原理的研究对象是实际的力态，实际

6、力态的平衡关系以及实际力态中力与位移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态，此位移态一定要几何可能。杆件位移态的几何可能条件主要应用：1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节重点介绍；2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请参考结构力学教程，运用中应特别注意δu*、δv*为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种位移应独立无关。式中h2i称为转移系数，具体可求出。现求：仅当②发生变形e2时，求相应的Δi(如图)。为此，可虚设此位移态，则力态的外力在此位移态上的外力虚功为：δW*=PiΔi虚位移原理应用举例设仅有Pi=1时，在单元②中引起的内力的h2i；则由于为线性结构，当为Pi时，②中内力

7、为F2=h2iPi(12)nn＝1i+1虚变形功为：δU*=F2e2=h2iPie2由虚位移原理δW*=δU*便有PiΔi=h2iPie2最后得Δi=h2ie2(13)这就是应用虚位移原理的实例。即当单元②有单位变形时，未知量i方向上的位移亦为h2i，因此可说系数h2i是把Pi“转移”为②中内力F2的系数，或者说是把单元②的变形“转移”为i方向位移的系数。这是很重要的概念(逆步变换的概念)，反映了结构本身的属性。力和位移、应力和应变