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时间:2020-08-02
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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1,公理2,公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.[知识链接]1.在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、重合.2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.[预习导引]1.平面的概念(1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通
2、常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α,平面ABCD,平面AC或平面BD.2.点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念:如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.(2)一些文字语言与数学符号的对应关系:文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂
3、α直线l在平面α外l⊄α直线l,m相交于点Al∩m=A平面α、β相交于直线lα∩β=l3.平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内,又能说明平面是无限延展的公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α一是确定平面;二是证明点、线共面问题;三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,
4、且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l一是判断两个平面相交的依据;二是证明点共线问题的依据;三是证明线共点问题的依据要点一 三种语言的转换例1 用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.解 (1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示如图①.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC
5、=AC,图形表示如图②.规律方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.跟踪演练1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.解 (1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线
6、l上,如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.要点二 点线共面问题例2 证明:两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.证明 方法一 (纳入法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二 (重合法)∵l1∩l2=A,∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同
7、理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法:即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.跟踪演练2 已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面.证明 如图所示.由已知a∥b,所以过a,b有且只有
8、一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,∴l⊂α.即过a,b,l有且只有一个平面.要点三 点共线与线共点问题例3 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点,若MN与EF交
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