中考数学专题复习练习：切线的判定和性质.doc

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1、例如图，△ABC内接于大⊙O，∠B＝∠C，小⊙O与AB相切于点D．求证：AC是小圆的切线．分析AC与小⊙O的公共点没有确定，故应过O作AC的垂线段OE．再证明OE等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线．证明连结OD，作OE⊥AC于E．∵∠B＝∠C，∴AB=AC．又AB与⊙O小相切于D，∴OD⊥AB．∵OE⊥AC，∴OD=OE．即小⊙O的圆心O到AC的距离等于半径，所以AC是小圆的切线．说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页

2、例4的变形题．例（大连市，l999）阅读：“如图△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B．求证：AE与⊙O相切于点A．证明：作直径AF，连结FC，则∠ACF＝90°．∴∠AFC+∠CAF＝90°．∵∠B＝∠AFC．∴∠B+∠CAF＝90°．又∵∠CAE=∠B，∴∠CAE+∠CAF＝90°．即AE与⊙O相切于点A．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．如图，已知△ABC内接于⊙O．P是CB延长线上一点，连结AP．且PA2＝PB·PC．求证：PA是⊙O的切线．证明：∵PA2＝PB·PC，∴．又

3、∵∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA．∠PAB=∠C．由阅读题的结论可知，PA是⊙O的切线．说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．例（西宁，1999）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．求证：（1）ED是⊙O的切线；（2）2DE2＝BE·OD证明：（1）连结OE、CE，则CE⊥AB．在Rt△ABC中，∵OA=OC，OD∥AB，∴D为BC的中点，∴DE=CD，又∵OC=OE，OD=OD，∴△COD≌△EOD，∴∠OED=∠OCD=90°，∴ED是⊙O的切线．（2）在Rt△A

4、BC中，CE⊥AB，∴△CBE∽△ABC，∴CB2＝BE·AB，∵OD为△ABC的中位线，∴AB=2OD，BC=2ED，∴（2ED）2＝BE·2OD即2DE2＝BE·OD说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．典型例题四例（北京市西城区试题，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作的平分线，交AC于点D，请你测量出的度数；（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作的平分线（不写

5、做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出的度数；猜想：的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.解：（1）测量结果：.（2）作图略.图2中的测量结果：.图3中的测量结果：.猜想：为确定的值，的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.证法一：连结BC.∵AB是⊙O的直径，∴.∵PC切⊙O于点C，∴.∵PD平分，∴猜想正确.证法二：连结OC.∵PC切⊙O于点C，∵PD平分，∴猜想正确.典型例题五例（北京市崇文区，2002）已知：≌，，对应边AC与重合，如图（1）.若将沿CB边按箭头所示方向平移，如图（2），使边

6、AB、相交于点D，边交AB于点E，边AC交于点F，以为直径在五边形内作半圆O，设的长为x，半圆O的面积为y.1．求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；2．连结EF，求EF与半圆O相切时的x的值.解：1．∵≌，，.以为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中、AC与⊙O始终相切，故只需考虑AB与⊙O相切的特殊位置，以确定x的最小值.当沿CB边按箭头所示方向平移时，∵≌，∴，∴是等腰三角形.又∵∴∴O是的中点.∴O到BD、的距离相等.∴AB与⊙O相切时，必与⊙O相切.设切点分别为G、H，连结OG，则有∴∽.解之得当或时，不合题意，∴自变量x的取值范围是.2．在和中，∴≌.∴

7、四边形为矩形.当EF与⊙O相切时，.解之得典型例题六例已知如图，在中，，以为直径的⊙交于，过作⊙的切线交于，求证：.分析：因为是⊙的切线，是切点，所以连，得，因此本题的关键在于证明.证明连结、为⊙的直径，，.是中点，是的中点，为的中位线，是切线，为切点，是⊙的半径说明：连结构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结构成了圆周角推论的基本图形.典型例题七例如图，已知⊙中，为直径，过点作⊙的切线，连线，若交⊙于.求证：是⊙的切线.分析：要证是⊙的切线，只须证垂直于过切点的半径，由此应想到连结.证明连结，及，为