数列求和 经典练习题(含答案解析).pdf

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1、1.在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝3420×19又S＝20a＋d2012＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170(a+a)×20120解法二S==10(a＋a)201202由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝1702.已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，

2、由已知可得(a＋2d)(a＋bd)＝－12①11a＋3d＋a＋5d=－4②112由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：2a3，a7是方程x＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6，a7=2aa73d==2，a＝－10，S＝180120733.等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm

3、＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．解法一设{an}的公差d按题意，则有n(n1)S＝na＋d＝m①n12m(m1)S＝ma＋d＝n②m12(mn)(mn1)①－②，得(m－n)·a＋·d=n－m12mn1即a＋d=－112(mn)(mn1)∴S(mn)a·dmn12mn1(mn)(a·d)12=－(m＋n)2解法二设Sx＝Ax＋Bx(x∈N)2Am＋Bm＝n①2An＋Bn＝m②22①－②，得A(m－n)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－12故A(m＋n)＋

4、B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)4.设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，bb43b，b，y，b均为等差数列，求．234aa21aamn分析可采用d＝mnaayx21解由=(1)3251bbyx43=(2)6452b4b38(2)÷(1)，得aa3215.在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．1解∵S＝(m＋n)a＋(m＋n)(m＋n－1)dm+n121＝(m＋n)[a＋(m＋n－1)d]12且Sm＝Sn，m≠n11∴ma＋m

5、(m－1)d＝na＋n(n－1)d1122d整理得(m－n)a＋(m－n)(m＋n－1)=0121即(m－n)[a＋(m＋n－1)d]=0121由m≠n，知a＋(m＋n－1)d＝012∴Sm+n＝06.在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．17×169×8根据题意：S=17a＋d，S＝9a＋d1719122∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2n(n1)22∴S＝25n＋(－2)=－n＋26n=－(n－13)＋169n2∴当n=13时，S

6、n最大，最大值S13＝169解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等a≥0n差数列，若使前n项和最大，只需解，可解出n．a≤0n+1∵a1＝25，S9＝S179×817×16∴9×25＋d=17×25＋d，解得d=－222∴an=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27－2n＋27≥0n≤13.5∴∴n=13－2(n＋1)＋27≥0n≥12.5即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17

7、=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{an}是等差数列2∴可设Sn＝An＋Bn2二次函数y=Ax＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，9+17∴对称轴x==132∴取n=13时，S13＝169最大7．求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：转化为等比

8、数列．解(1)a=3a＋2a＋1=3(a＋1)n+1nn+1n∴{an＋1}是等比数列n-1n∴an＋1=3·3∴an=3－1(2)a－3a＋2a=0a－a=2(a－a)n+