数列求和经典方法(必看)

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1、愚公教育高三数学总复习数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(aa)n(n1)1n1、等差数列求和公式：Snadn122na1(q1)n2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq(q1)1q1qnn1213、Snkn(n1)4、Snkn(n1)(2n1)k12k16n3125、Snk[n(n1)]k12123n[例1]已知logx，求xxxx的前n项和.3log3211解：由logxlogxlog

2、2x333log32223n由等比数列求和公式得Sxxxx（利用常用公式）n11n(1)x(1x)22n1＝＝＝1－1n1x212*Sn[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)的最大值.(n32)Sn111解：由等差数列求和公式得Sn(n1)，S(n1)(n2)（利用常用公nn22式）Snn∴f(n)＝2(n32)Sn34n64n1111＝＝648250n34(n)50nn81∴当n，即n＝8时，f(n)max850愚公教育二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法

3、，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.23n1[例3]求和：S13x5x7x(2n1)x………………………①nn1n1解：由题可知，{(2n1)x}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x}的通项之积234n设xS1x3x5x7x(2n1)x……………………….②n（设制错位）234n1n①－②得(1x)S12x2x2x2x2x(2n1)xn（错位相减）n11xn再利用等比数列的求和公式得：(1x)S12x(2n1

4、)xn1xn1n(2n1)x(2n1)x(1x)∴Sn2(1x)2462n[例4]求数列,,,,,前n项的和.23n22222n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积nn222462n设S…………………………………①n23n222212462nS………………………………②（设制错位）n234n1222221222222n①－②得(1)S（错位相减）n234nn1222222212n2n1n122n2∴S4nn12三、反序相加法求和这

5、是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(aa).1n22222[例5]求sin1sin2sin3sin88sin89的值愚公教育22222解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89………….①将①式右边反序得22222Ssin89sin88sin3sin2sin1…………..②（反序）22又因为sinxcos(90x),sinxcosx1①+②得（反序相加）2222222S(sin1

6、cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.111[例6]求数列的前n项和：11,4,7,,3n2，…2n1aaa111解：设S(11)(4)(7)(3n2)n2n1aaa将其每一项拆开再重新组合得111S(1)(1473n2)n2n1aaa（分组）(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Sn＝（分组

7、求和）n22111nan(3n1)naa(3n1)n当a1时，S＝n12a121a[例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.32解：设ak(k1)(2k1)2k3kkknn32∴Snk(k1)(2k1)＝(2k3kk)k1k1将其每一项拆开再重新组合得nnn32Sn＝2k3kkk1k1k1（分组）333222＝2(12n)3(12n)(12n)愚公教育22n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)＝