武汉大学近二十年数学分析考研真题.pdf

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1、武汉大学数学分析19921．给定数列{x}如下：n1⎡a⎤x>0，x=(k−1)x+⎥，n=0,1,2,?0n+1⎢nk−1kx⎣n⎦（1）证明数列{x}收敛。n（2）求出其极限值。2．设函数f(x)定义在区间I上，试对“函数f(x)在I上不一致连续”的含义作一肯定语气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数xlnx在区间(0,+∞)上不一致连续。3．设函数f(x)在区间[0,a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证af(a)明成立等式：∫f(x)dx=∫[]a−g(x)dx。00+∞nx4．给定级数∑。n=0n+1（1）求它的和

2、函数S(x)。1（2）证明广义积分S(x)dx收敛，交写出它的值。∫02⎧xy22⎪22,x+y≠0⎪x+y5．对于函数f(x,y)=⎨，证明：⎪0,x2+y2=0⎪⎩（1）f(x,y)处处对x，对y可导；（2）偏导函数f′(x,y)，f′(x,y)有界；xy（3）f(x,y)在点(0,0)不可微。（4）一阶偏导函数f′(x,y)，f′(x,y)中至少有一个在点(0,0)不连续。xy6．计算下列积分：ba1x−x（1）∫dx，其中a,b为常数，0

3、学数学分析19941．设{x}正无穷大数列（即对于任意正数M，存在自然数N，当n>N时，成立x>M），nnE为{x}的一切项组成的数集。试证必存在自然数p，使得x=infE。np002．设函数f(x)在点x的某空心邻域U内有定义，对于任意以x为极限且含于U的数列00{x}，极限limf(x)都存在（有限数）。nnn→∞（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列{x}来说，数列{f(x)}的极限是唯一确定的，nn0即如果{x}和{x′}是任意两个以x为极限且含于U的数列，那么总有nn0limf(x)=limf(x′)。nnn→∞n→∞（2）记（1）中{f(x)}

4、的唯一确定的极限为A，试证：limf(x)=A。nx→x03．设函数f(x)在点x的邻域I内有定义，证明：导数f′(x)存在的充要条件是存在这样00的函数g(x)，它在I内有定义，在点x连续，且使得在I内成立等式：0f(x)=f(x)+(x−x)g(x)，00又这时还有f′(x)=g(x)。004．已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的。现假设有一函数f(x)，在区间[a,b]上有定义，有界（存在正数M，∀x∈[a,b]，有f(x)

5、级数++?++?2⋅13⋅2n⋅(n−1)（1）确定它的收敛半径和收敛区间；（2）求它的和函数S(x)。22−x−x4+6．计算线积分I=∫(−2xesiny)dx+(ecosy+x)dy，其中C是从点A(1,0)到点C+2B(−1,0)的半圆y=1−x（−1≤x≤1）。武汉大学数学分析19951．设{a}上无界，证明存在子序列{a}，使得a→+∞（当k→+∞）nnknkn1x2．证明：lim→+∞∫edx=1。n01213．设f(x)在[0,1]上连续，证明：∫∫f(1−y)f(x)dxdy=[∫f(x)dx]。20D其中D为三角形区域O(0,0)，A(0

6、,1)，B(1,0)。4．计算下列积分：∫(y−x)dz+(z−y)dx+(x−z)dy。其中L平面x+y+z=1与三坐L标平面的交线，其方向为从(1,1,1)看L，曲线是逆时针方向。+∞n(−1)5．判断级数∑是否绝对收敛，条件收敛，为什么？nn=1n⋅n⎧22122(x+y)cos,x+y≠0⎪22⎪x+y6．设二元函数f(x,y)=⎨。22⎪0,x+y=0⎪⎩（1）求f(0,0)，f(0,0)。xy（2）证明f(x,y)，f(x,y)在(0,0)不连续。xy（3）证明：f(x,y)在(0,0)可微。+∞7．设对任意自然数n，f(x)在[a,+∞)上连续

7、，且反常积分f(x)dx关于n一致收敛，n∫na又对任意M>a，在[a,M]上有f(x)→f(x)（当n→+∞），证明：n→+∞（1）反常积分∫f(x)dx收敛。a+∞+∞（2）limf(x)dx=f(x)dx。n∫an∫a→+∞38．设证F(x,y)=y+sin(

8、x

9、y)，问（1）在(0,0)附近是否满足F(x,y)=0的隐函数存在定理条件？（2）在(0,0)附近F(x,y)关于y是否严格单调？（3）在(0,0)附近，是否存在过在(0,0)的唯一连续隐函数？为什么？（3）若存在隐函数过(0,0)点，问其导函数为何？武汉大学数学分析19961．设a→a(n

10、→+∞)，令n+⎧an,an>0⎧a,a>0an=⎨