数学分析教程(上册) 常庚哲 史济怀 习题解答 1.1-3.4.pdf

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1、练习题1.1January21,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.1.1反反反证证证法法法。。。设设设r=m是是是有有有理理理数数数，，，w是是是无无无理理理数数数。。。n若若若r+w=p，，，则则则w=pm=pnqm为为为有有有理理理数数数，，，与与与题题题设设设相相相悖悖悖qqnqn联联联系系系“““有有有理理理数数数域域域”””的的的概概概念念念，，，即即即加加加减减减乘乘乘除除除四四四则则则运运运算算算封封封闭闭闭，，，用用用反反反证证证法法法。。。1.1.2根根根据据据“““对对对任任任意意意实实实数数

2、数，，，总总总有有有r!x”””，，，仿仿仿照照照本本本节节节的的的方方方法法法构构构造造造一一一个个个有有有理理理数数数列列列p

3、，4p3=n3n也也也为为为偶偶偶数数数；；；n而而而m约约约分分分为为为最最最简简简形形形式式式后后后不不不可可可能能能都都都为为为偶偶偶数数数。。。n(pp)2p1.1.4反反反证证证法法法。。。利利利用用用例例例1的的的结结结论论论，，，2+3=5+26不不不是是是完完完全全全平平平方方方数数数，，，即即即得得得证证证。。。p1.1.5(0,0)是是是有有有理理理点点点。。。反反反证证证法法法。。。直直直接接接展展展开开开，，，x222x+y2=0，，，按按按照照照第第第1题题题结结结论论论，，，上上上式式式左左左边边边是是是无无无理理理数数数，，，而而而右右右边边

4、边是是是零零零。。。1.1.6当当当ab0时时时，，，取取取等等等号号号；；；当当当ab>0时时时，，，jjajjbjj0。。。b1.1.8数数数轴轴轴上上上，，，x到到到1的的的距距距离离离小小小于于于其其其到到到1的的的距距距离离离。。。∑n∑n1.1.9归归归纳纳纳法法法。。。n=2时时时成成成立立立，，，设设设jaij6jaij，，，于于于是是是i=1i=1∑n∑n∑n∑nn∑+1jaij=jai+an+1j6jaij+jan+1j6jaij

5、+jan+1j=jaiji=1i=1i=1i=1i=11.1.10按按按ab;a=b讨讨讨论论论即即即证证证。。。max(a,b)=a+b+jabj表表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向前前前（（（数数数轴轴轴正正正向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中中中较较较大大大者者者。。。22min(a,b)=a+bjabj表表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向后后后（（（数数数轴轴轴负负负向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中

6、中中较较较小小小者者者。。。221.1.11证证证明明明：：：aim66Mbibim6ai6Mbi∑n∑n∑nmbi6ai6Mbii=1i=1i=11∑n因为b1;b2;


;bn都是正数，bi>0,所以i=1a1+a2+


+anm66Mb1+b2+


+bnn1.1.12归归归纳纳纳法法法。。。n=2显显显然然然；；；设设设(1+x)>1+nx,又又又x>1,则则则n(1+x)(1+x)>(1+nx)(1+x)>1+(n+1)x1.1.13由由由对对对称称称性性性，，，只只只需需需考考考察察察06x

7、(xnyn)60(xmym)(ynxn)602练习题1.2January24,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.2.1直直直接接接证证证明明明；；；p任意有理数，对于确定的q，可按其除q的余数将整数分成q类；由除法过程，进位后的被除数必然属于某一同余类，qp从而至多经过q次，余数就会重复出现，所以不是有尽小数就是无尽循环小数；qn任意无尽循环小数a=0:a_···a_，则a×10n=0:0···0a_···a_，两式相减