binomial approach期权定价模型.ppt

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1、二叉树模型InvestmentAnalysisandPortfolioManagement1单步二叉树模型假设一种股票当前价格为$20，我们知道3个月后的价格将可能为$22或$18。我们打算对3个月后以$21执行价格买人股票的欧式看涨期权进行估值。3个月后期权价值是如下两个值之一：若到时股票价格为$22，期权的价值将是$1;若股票价格为$18，期权的价值将是0。考虑一种有价证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头和一个股票看涨期权的空头。我们将计算构造无风险组合时的Δ值。如果股票价格从$20上升到$22时，股票的价值为22Δ，期权的价值为$1，所以该证券组合的总价值为22Δ-1;如果股票价格

2、从$20下降到$18时，股票的价值为18Δ，期权的价值为零，该证券组合的总价值为18Δ。如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的。这意味着:在无套利机会的情况下，无风险证券组合的收益必定为无风险利率。假设在这种情况下，无风险利率为每年12%。因此我们知道今天该组合的价值一定是$4.5的现值，即:今天的股票价格己知为$20。假设期权的价格由f来表示。因此今天该组合的价值为:20x0.25-f=5–f于是5-f=4.367一般结论考虑一个价格为S0的股票，基于该股票的某期权的当前价格为f，在这样的条件下，我们可将以上所得结论推广到一般情形：假设期权在

3、时刻T到期，并且在期权有效期内，股票价格或从S0向上运动到一个新的水平S0u(其中,u>1)或从S0向下运动到新的水平S0d（其中,d<1)当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。如果股票价格运动到S0u，我们假设期权的损益为fu;如果股票价格运动到S0d，我们假设期权的损益为fd想像一个证券组合由Δ股股票多头和一个期权空头来组成。我们计算了使得该组合为无风险状态时的Δ值。如果股票价格上升，期权有效期末该组合的价值为:如果股票价格下降，组合的价值为:当二者价值相等时:即(1)在这种情况下，该组合是无风险的，收益一定是无风险利率。公

4、式(1)说明，当我们在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是期权价格变化与股票价格变化之比。如果无风险利率用r来表示，该组合的现值一定是:而构造该组合的成本是:因此即将公式(1)中的Δ代入化简得(2)其中(3)再考虑前面的数值例子,u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,fu=1和fd=0。从式(3)可得:从式(B)可得:股票预期收益的无关性期权定价公式(2)没有用到股票上升和下降的概率。例如，当上升概率是0.5时，我们得到的欧式期权价格与上升概率为0.9时得到的欧式期权价格相等。这一点令人惊讶且违备常理。人们很自然假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期极价值也增加，基

5、于该股票的看跌期权的价值则减少，其实情况并非如此。该问题的关键是:我们并不是按绝对价值为期权估值。我们只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明:当根据股票价格为期权估值时，我们不需要再考虑股票价格上升和下降的概率。2风险中性估值虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率做任何假设，就推导出公式(2)如果将公式(2)中的变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量l-p就是股票价格下降的概率。表达式:则是期权的预期收益。按照这种对p的解释，于是公式(2)可以表述为:期权现价是其未来预期值按无风险利率贴现的值。当上升概率假设为p时，T时刻预期的股票价

6、格E(ST)由下式给出:即将式(3)中的p代人上式，化简得:(4)该式说明，平均来说股票价格以无风险利率增长。因此，假定上升概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率。我们把所有人对于风险都是无差异的世界称为风险中性世界(RiskNeutralWorld)。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。公式(4)说明:当我们假定上升概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界。公式(2)说明:期权的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。期权估值中的所谓风险中性估值原理是一个重要的一般原理，而以上的结果只是这个原理的一个例子。这说明我们可以完全放

7、心地假设:当为期权估值时，世界是风险中性的。我们得到的价格不仅仅在风险中性世界中是正确的，在其它世界中也是正确的。风险中性估值和无套利理论回顾前例：股票现价为$20，3个月末股票价格可能上涨到$22或下降到$18。所考虑的期权是一份执行价格为$21、有效期为3个月的欧式看涨期权。无风险利率是12%。我们说过，在风险中性世界中，股票价格上升变动的概率是p。在这样的世界中，股票的预期收益率一定等于无风险利率12%。这意味着p一定满足:则