多元函数的概念 二元函数的极限和连续性课件.ppt

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1、第八章多元函数微分法及其应用注意与一元函数微分学类比,区别异同第一节多元函数的概念一、平面点集二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性二元函数的极限和连续性一、平面点集建立了坐标系的平面称为坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作例如:(1).平面点集全部xOy坐标面或由曲线围成的平面上的区域。平面区域D称为有界区域,是指可以找到为半径,原点为圆心作一个圆,使D被包含在圆内.下面介绍几个与区域有关的概念：2.闭区域：包括边界在内的平面区域称为闭区域.3.开区域：不包括边界在内的平面区域称为开区域4.有界区域：1.区域的边界：围成平面区域

2、的曲线称为区域的边界一个正数k,以k部分平面称为(2).区域5.无界区域：平面上的非有界区域就是无界区域.7.内点：设D为平面区域,,如果存在δ>0使,则称P0(x0,y0)为D的一个内点.6.邻域:以点P0(x0,y0)为圆心,以一个正数δ为半径的圆形开区域,称为点P0的邻域.记为不包含P0点本身的P0的邻域称为点P0的去心邻域,记为;若对平面内任一点P(x,y),记则P0(x0,y0)∈D例如，在平面上开区域闭区域二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义1.设D是非空平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变量z

3、按照一定的法则,总有确定的值和它对应,则称z是x,y的二元函数,记作因变量定义域的范围为值域自变量或记作类似地可定义三元及三元以上函数．如三元函数例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.例如,则并作出D解要使的定义域D，例1:求函数的示意图.有意义,应有故即,如图二、二元函数的极限定义2.设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内可以除外),点P(x,y)是点P0不同于P0的任意一点.如果无限接近于P0(x0,y0),相应的函数值f(x,y)也无限接近于一个常数A,则称当P(x,

4、y)→P0(x0,y0)时,函数z=f(x,y)以A为极限,记为有定义(点P0邻域内P(x,y)以任意的方式或若用点函数表示,也可记为或说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似;时,f(x,y)都无限接近于A;二元函数的极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),是否存在？则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!所以极限以不同方式趋于不存在.例2:讨论极限函数不存在.例3:求解:令ρ=xy，则当x→0,y→0时,ρ→0四.二元函数的连续性定义3:设函数f(x,

5、y)在点的一个邻域内则称f(x,y)在点注:(1).若函数f(x,y)在D内每一点都连续,则称f(x,y)在D内连续或f(x,y)是D内的连续函数.(2).二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质.如:和,差,积,商及复合性质;有界闭域上的二元连续函数也有最大(小)值定理和介值定理.有定义,若处连续.或(3).二元初等函数在其有定义的区域内连续.由x和y的基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的一个式子的函数定理1在有界闭域D上连续的函数f(x,y)必有最大值和最小值.定理2在有界闭域D上连续的函数f(x,y),如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值

6、之间的任何值至少一次.例.初等函数定义域内的点作业：习题8-1（P47）1（1）3（1）（3）4（1）（2）