多元函数的概念二元函数的极限和连续性.ppt

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1、一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性第九章多元函数微分学第一节多元函数的概念二元函数的极限和连续性一、多元函数的概念1.二元函数的定义设有三个变量x,y和z,如果当变量x,y在一定范围内任意取定一对数值时.变量z按照一定的规律f,总有确定的数值与它们对应，则称z是x,y的二元函数，记为定义1自变量x、y的取值范围称为函数的定义域.其中x,y称为自变量，z称为因变量．二元函数在点(x0,y0)所取得的函数值记为例4以及n元函数u=f(x1,x2,···,xn)，类似地，可以定义三元函数u=f(

2、x,y,z)多于一个自变量的函数统称为多元函数.解二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用D表示.2.二元函数的定义域围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.连同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.求下列函数的定义域D，并画出D的图形：应有解例5所以函数的定义域D是以x=±2,y=±3为边界的矩形闭区域.≤≤≤≤≤≤xyO32-3-2(2)因为要使函数应有是有界区域.所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，>≥即

3、1

4、形如②的不等式组表示，则将D投影到y轴上，所以在y轴上得到区间[1,2].因为直线x=2与y=x的交点为(2,2)，在区间[1,2]内任意取一点y,作平行于x轴的直线，由图可知对于所给的y，D内对应点的横坐标x满足≤≤故D用形如②的不等式组表示为≤≤≤≤y=xy=1x=2xyO1212则称A为函数z=f(x,y)当时的极限，二、二元函数的极限设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外)，如果当点P(x,y)无限地接近于点P0(x0,y0)时，记为定义2恒有P0的邻域是指：满足

5、不等式的一切点P(x,y)的集合.≤例8令u=x2+y2，有时可以转化成一元函数的极限问题.二元函数的极限问题解例9当(x,y)沿y轴趋向于原点，解考察函数即当y=kx，但是，当点(x,y)沿着直线y=kx(k0)趋向于点(0,0)时，而当点(x,y)沿y轴趋向于原点，有随着k的取值不同，时，且等于它在点P0处的函数值，设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限存在，①1.二元函数的连续定义三、二元函数的连续性定义

6、3则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.因此，①可以改写成函数z=f(x,y)的全增量，②即设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，若当自变量x,y的增量x,y趋向于零时，则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.定义4对应的函数的全增量z也趋向于零，③即所以③又可改写成：如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数z=f(x,y)在区域D内连续.④2.有界闭区域上连续函数的性质1最大值最小值定理在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得到最

7、大值和最小值.2介值定理在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次．