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1、第6章三维定态问题（1）中心力场的主要性质（2）简单的三维定态问题（3）两体问题（4）中心力场（5）氢原子（6）带电粒子在磁场中的运动内容提要1、中心力场的一般性质角动量守恒与径向方程径向波函数的渐近行为两体问题向单体的转化2、球方势阱无限深球方势阱有限深球方势阱3、三维各向同性谐振子球坐标下的本征方程及解和性质直角坐标系下本征方程解4、氢原子能量本征方程、本征值和本征波函数能级简并度径向位置几率分布几率分布与角度的关系电流分布与磁矩自然界中中心力场是个广泛的问题；中心力场中运动的粒子保持角动量守恒，无论是经典力学还是量子力学
2、都是如此。现看经典力学情形:中心力场的一般性质1、角动量守恒与径向方程（2）简单三维问题粒子的势能在直角坐标系中的表达形式：哈密顿算符：定态薛定谔方程：分离变量：显然上式每一项都必定是常数，可以记为E1E2E3代入薛定谔方程：例题：求粒子在三维无限深方势阱中运动的定态能量和波函数分离变量：定态能量和波函数可以表示为（3）两体问题体系由两个粒子组成，两个粒子之间的相互作用势只与相对位置有关薛定谔方程引入质心坐标R与相对坐标r：方程可以变为：分解成两个方程：体系Hamilton量H的本征方程对于势能只与r有关而与θ,无关的有心力
3、场，使用球坐标求解较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：xz球坐标ry此式使用了角动量平方算符L2的表达式：4中心力场（二）求解Schrodinger方程（1）分离变量化简方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm则方程化为：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令讨论E<0情况，方程可改写如下：于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势
4、和库仑势两部分组成。令（2）求解(I)解的渐近行为ρ→∞时，方程变为所以可取解为有限性条件要求A'=02(II)求级数解令为了保证有限性条件要求：当r→0时R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一个求和改为:把第一个求和号中ν=0项单独写出，则上式改为：再将标号ν'改用ν后与第二项合并，代回上式得：[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0S=-不满足s≥1条件，舍去。s=+1高阶项系数：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系数bν的递推公式注
5、意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即（三）使用标准条件定解（3）有限性条件（1）单值；（2）连续。二条件满足1.ρ→0时，R(r)有限已由s=+1条件所保证。2.ρ→∞时，f(ρ)的收敛性如何？需要进一步讨论。所以讨论波函数的收敛性可以用eρ代替f(ρ)后项与前项系数之比级数eρ与f(ρ)收敛性相同可见若f(ρ)是无穷级数，则波函数R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。与谐振子问题类似，为讨论f(ρ)的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：最高幂次项的νmax=nr令注意此时多项式最
6、高项的幂次为nr++1则于是递推公式改写为量子数取值由定义式由此可见，在粒子能量小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取En给出的分立值时，波函数才满足有限性条件的要求。En<0将β=n代入递推公式：利用递推公式可把b1,b2,...,bn--1用b0表示出来。将这些系数代入f()表达式得：其封闭形式如下：缔合拉盖尔多项式总波函数为：至此只剩b0需要归一化条件确定则径向波函数公式：径向波函数第一Borh轨道半径使用球函数的归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达
7、式如下：从而系数b0也就确定了（四）归一化系数下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式：（1）本征值和本征函数（2）能级简并性能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,,m有关，故能级存在简并。当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非
8、简并态。当E<0时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）总结（3）简并度与力场对称性由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与m无关，而与
