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1、9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行1.在平面上两条直线的位置关系有哪几种？问题2.在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的方程判断这两条直线的位置关系？OxyL2L1n2n1下面来讨论两条直线平行的充要条件，设两条直线分别为L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0如图所示，直线L1的一个法向量可取为n1=(A1，B1)，直线L2的一个法向量可取为n2=(A2,B2)。因此如果L1//L2,则n1//n2,即存在一个非零实数λ，使n1=λn2,且C1≠λC2.上述结论也可用直线
2、方程的系数表示为A1=λA2B1=λB2(λ为非零实数）C1≠λC2特别，如果L1与L2的方程中的x和y的系数及常数项都不为零，则有L1//L2⇔例1已知直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0.求证：L1//L2.证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(2,-4),L2的一个法向量可取为n2=(1,-2).因为n1=2n2,且7≠2×5.所以L1//L2.例2求证直线L1：Ax+By+C1=0与直线L2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)平行.证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(A,B),
3、L2的一个法向量可取为n2=(A,B).因为n1=1·n2,而C1≠C2.所以L1与L2平行.一般地，与直线Ax+By+C=0平行的直线都可以表示成Ax+By+D=0（D≠C）.例3求过点（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。解：设所求直线方程为2x+3y+D=0，由于所求直线过点（1，-4），将其带入方程，得D=10，因此，所求直线方程为2x+3y+10=0例４ 已知四边形ＡＢＣＤ的四条边所在的直线方程分别是ＡＢ：２ｘ－３ｙ－７＝０ＢＣ：３ｘ＋６ｙ－１１＝０ＣＤ：４ｘ－６ｙ＋５＝０ＤＡ：
4、Ｘ＋２ｙ－４＝０求证四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。证明：因为直线ＡＢ的一个法向量可取为ｎＡＢ＝(2,-3)直线ＣＤ的一个法向量可取为ｎＣＤ＝(4,-6)显然ｎＡＢ＝ ｎＣＤ，且－７≠×５，所以ＡＢ//ＣＤ．又因为直线ＢＣ的一个法向量可取为ｎＢＣ＝(3,6)，直线ＤＡ的一个法向量可取为ｎＤＡ＝(1,2)因为ｎＢＣ＝３ｎＤＡ，且-11≠3×(-4)，所以ＢＣ//ＤＡ．因此四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。1、已知直线的一个方向向量v=(v1,v2),则直线的斜率k=.已知斜率k，则直线的一个方向向量v=.2、点斜式方程
5、.3、斜截式方程.温故知新(1,k)y=kx+b新知探究任何一条直线都可以由其上的一点和它的一个法向量写出它的点法式方程，直线的点法式方程是一个二元一次方程。因此可以说每一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。那么是否每个二元一次方程的图像都是直线呢？探究分析若关于x,y的二元一次方程为：Ax+By+C=0（A,B不全为零）①设（x0,y0)是此方程的一个解，即Ax0+By0+C=0②由①-②得A(x-x0)+B(y-y0)=0③这是一条过点p0(x0,y0)，法向量为n=(A,B)的直线的点法式方程。
6、得出结论任何关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)的图象都是一条直线。我们把方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)叫做直线的一般式方程。如果n=(A,B)是直线的一个法向量，则直线的一个方向向量v=.如果v=(A,B)是直线的一个方向向量，则直线的一个法向量n=。(B,-A)或（-B,A)(B,-A)或（-B,A)得出结论向量n=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量，向量v=(B,-A)和(-B,A)都是这条直线的一个方向向量。活学活用例10.写出下列直线的一个法向量和一个
7、方向向量：(1)3x-4y-1=0(2)2x-3=0(9)3y-2=0n=(3,-4)v=(-4,-3)n=(2,0)v=(0,-2)n=(0,3)v=(3,0)例11求直线x+2y+6=0的斜率和在y轴上的截距解：由方程x+2y+6=0解出y，得此直线的斜截式方程所以，直线的斜率是，在y轴上的截距是-3。跟踪练习求直线7x+8y+9=0斜率和在y轴上的截距。例12求直线l:4x-3y-12=0与x轴，y轴的交点坐标，并画出直线L。解：令y=0,得x=3;令x=0,得y=-4所以，直线与x轴，y轴的交点分别
8、为：A(3,0),B(0,-4)过点A，B的直线就是直线l，-4-1-2-3-1-2-3-4xy0lA(3,0)B(0,-4)跟踪练习求直线2x-3y+6=0与x轴和y轴的交点坐标，并画出直线.与x轴交点（-3，0）与y轴交点（0，2）课堂练习1、求下列直线的一个法向量，一个方向向量和斜率k（如果斜率存在的话）x-3y+5=0y=3x+72x+5=04y+1=0n=(1,-3)v=(-3,-1)k=根据下列条件写
