压缩感知理论简介.ppt

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1、压缩感知理论简介TheIntroductionofCompressedSensing(CS)Theory西安工程大学理学院李海洋1背景介绍1.1：传统采样理论简介1.2：压缩感知理论的提出2压缩感知理论主要研究内容2.1：信号的稀疏表示2.2：观测矩阵的设计2.3：信号重构3压缩感知应用-单像素CS相机1.1传统采样理论简介信号采样压缩传输重构Nyquist-Shannon采样定律JEPG等传统的信号处理过程传统的基于Nyquist-Shannon采样定理指导下的信息采样理论的不足主要表现在以下两个方面：1、

2、根据Nyquist-Shannon采样定律，采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。而现实生活中，随着信息技术的高速发展，信息量的需求增加，携带信息的信号所占带宽也越来越大，因此对采样的硬件设备的要求也越来越高。2、另一方面，在实际应用中，为了降低信号的存储、处理和传输成本，人们又不得不经由压缩方式减少信号表示的比特数，以此抛弃认为不重要的数据，这种高速采样再抛弃的过程显然是对采样资源的巨大浪费。1.2压缩感知理论的提出既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要

3、保留的数据呢？采集很少一部分数据并且期望从这些少量数据中解压出大量信息，有无这种可能呢？D.Donoho,Candes，T.Tao等人证明了如果信号具有稀疏性的特性，那么就可能存在一种算法能够从这些少量的数据中还原出原先的信息。信号压缩感知传输重构信号采样压缩2压缩感知理论主要研究内容2.1：信号的稀疏表示2.2：观测矩阵的设计2.3：信号重构2.1信号的稀疏表示稀疏性的定义：一个实值有限长的N维离散信号，它可以用一个标准正交基的线性组合来表示，其中表示矩阵的转置，那么有其中，若在基上仅有个非零系数时，称为信

4、号的稀疏基，是稀疏(K-Sparsity)的。如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，,向量基本都是非零值，但将其变换到域时，非零值就只有3个了，数目远小于原来的非零数目，实现了信号的稀疏表示。如何寻找信号的最佳稀疏域呢？这是压缩感知理论的基础和前提，也是信号精确重构的保证。对稀疏表示研究主要有两个方面：（1）基函数字典下的稀疏表示：寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较常用的基有：高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。Candes和Tao经研究发现光滑信号的Fourier系数、小波系数

5、、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有足够的稀疏性,可以通过压缩感知理论恢复信号。（2）超完备库下的稀疏表示：用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。一是如何构造这样一个适合某一类信号的冗余字典；二是在已知冗余字典的前提下如何设计快速有效的分解方法来稀疏地表示某一个信号。2.2观测矩阵的设计观测器的目的

6、是采样得到个观测值，并保证从中能够重构出原来长度为的信号或者稀疏基下的系数向量。观测过程就是利用观测矩阵的个行向量对稀疏系数向量进行投影，得到个观测值，即如果我们假设信号已经是稀疏的，那么上面的方程就可以写作观测矩阵要满足什么样的条件呢？从上式中求出是一个线性方程组的求解问题，但由于方程的个数远远少于未知数的个数，即，因此，一般说来，该方程组有无穷多个解。但如果具有稀疏性，则有可能求出确定解。Candes、Tao等人提出必须保证观测矩阵不会把两个不同的稀疏信号映射到同一个采样几何中，即上述线性方程组的稀疏解具

7、有唯一性。目前，关于测量矩阵的研究主要基于以下两个方面：１RIP条件：２相干性：随机矩阵、结构随机矩阵与确定性矩阵.虽然随机矩阵能产生尺寸接近最优的RIP矩阵。在工程实际中,人们更希望构造一个确定性RIP矩阵。因为确定性矩阵更利于工程设计,此外,从构造解码算法角度来看,确定性矩阵利于降低内存、设计快速的恢复算法等。然而,现在仍然缺少令人满意的确定性RIP矩阵构造方法。结构随机矩阵.与确定性矩阵相比,结构随机矩阵多了些随机性,因而可以证明其具有较好的RIP性质,同时,结构随机矩阵的随机性较弱,一般仅具有行随机性

8、。2.3信号重构首先介绍范数的概念。向量的p-范数为：当p=0时得到0-范数，它表示上式中非零项的个数。由于观测数量，不能直接求解，在信号能稀疏表示的前提下，求解方程组的问题转化为最小0-范数问题：对于0-范数问题的求解是个NP问题，在实际应用中很难获得问题的可行解。因此，寻求对以上问题的松弛以获得理想的逼近解，已成为稀疏信号重构的重要手段。一种自然的想法是，用下面的模型来代替，我们称之为p-范数优