直接证明与间接证明（人教A选修12）课件.ppt

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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）复习合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.例：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所

2、要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…特点:“由因导果”综合法又叫由因导果法或顺推证法.例1:如图,△ABC在平面α外,求证:P,Q,R三点共线.ABCPQR证明：因为AB∩α=P,BC∩α=Q，AＣ∩α=Ｒ,所以P,Q,R∈α，P∈AB，Ｑ∈BC,R∈AC则得P,Q,R∈平面ABC,因此P,Q,R是平面ABC与平面α的公共点.因为两平面相交有且只有一条交线，所以P,Q,R三点在平面ABC与平面α的交线上，即P,Q,

3、R三点共线。例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------①因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------②所以B=60o。-----------------------------------------------------------------

4、----③由a,b,c成等比数列，有b2=ac,-----------------------------------------------④则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤则由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等边三角形。利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推

5、导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…小结综合法的定义:回顾基本不等式：(a>0,b>0)的证明.证明:因为;所以所以所以成立证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.得

6、到一个明显成立的结论…分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例4:求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式成立。例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立证:例6上述过

7、程可用框图表示:看课本第41页，例题6。一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。特点:“由因导果”小结综合法又叫由因导果法或顺推证法.1.综合法的定义:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．2.分析法的定义:分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点:“执果索因”2.2直接证明与

8、间接证明2.2.2反证法复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?分析:假设有某种染法