2019年成都理工大学高数下重修PPTD96几何中的应用课件.ppt

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1、多元函数微分学的几何应用1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的则在点M的导向量为法平面方程给定光滑曲线为0,切线方程例.求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为法平面方程为即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或也可表为法平面方程(自己验证)例.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2

2、方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量:法线方程切平面方程过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线.曲面时,则在点故当函数法线方程令特

3、别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习例.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)例.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的

4、切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,第七节证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为3.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.