2019年可分离变量的微分方程课件.ppt

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1、一、可分离变量的微分方程二、齐次方程四、变量代换法解方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程一、可分离变量的微分方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为可分离变量的微分方程。运用积分方法即可求得可分离变量方程的通解：其中C为积分后出现的任意常数。将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。例1求微分方程解分离变量两端积分例例解两边同时积分，得故所求通解为例二、齐次方程齐次方程可分离变量方程变量代换代入原方程，得形如例解于是，原方程化为两边积分，得即例4求解微分方程微分方程的通解为解例例5求

2、解微分方程解例微分方程的解为三、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐次线性方程。方程称为一阶非齐次线性方程。习惯上，称为方程所对应的齐次方程。一阶齐次线性方程的解运用分离变量法，得两边积分，得故表示一个原函数的解存在，且唯一，其通解为例解故该一阶齐线性方程的通解为套公式！例解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为一阶非齐次线性方程的解比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？行吗?!怎么办？故即上式两边积分，求出待定函数

3、以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。解例6第一步，求相应的齐次方程的通解例解例6第二步，常数变易法求非齐次方程的通解例例解所以，方程的通解为套公式！例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为四、利用变量代换求微分方程的解不是所有的微分方程都可以直接根据方程的显式形式求得问题的解。四、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为例例11用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为例解分离

4、变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解（一阶线性微分方程）五、小结1.可分离变量的微分方程:分离变量法（1）分离变量;（2）两端积分-------隐式通解.可分离变量的微分方程解法：3.线性非齐次方程2.齐次方程齐次方程的解法线性非齐次方程的解法谢谢大家！z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkV

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