聂琴(最终定稿)课件.ppt

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1、余弦定理(一)授课人：聂琴一、提出实际应用问题BAC5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出C到山脚A、B的距离，分别是AC=5km，BC=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角最后通过计算求出山脚的长度AB。思考：你能求出上图中山脚的长度AB吗？二、建立数学模型已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?CBAcab探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，C

2、B与CA的夹角为∠C，求边c.﹚设由向量减法的三角形法则得三、解决问题CBAcab﹚﹚由向量减法的三角形法则得探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设CBAcab﹚由向量减法的三角形法则得探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设余弦定理CBAbac推论：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三

3、条边与某一角的关系，从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广；（3）可利用余弦定理求解已知两边及它们的夹角，求第三边的问题；（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形，任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。解决实际应用问题BAC5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚A、B的距离，分别是AC=5km，BC=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角

4、，最后通过计算求出山脚的长度AB。题型一：已知三角形的两边及夹角求解三角形(SAS)例2.在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求A,cosB.解：由余弦定理得题型二：已知三角形的三边解三角形(SSS)CABabc变式1：在△ABC中，已知a:b:c=7:3:5,求A,cosB.变式2：在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC=7:3:5,求A,cosB.题型三:已知三角形的两边及对角解三角形（SSA)思考在解三角形的过程中，求某一个角既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另

5、一个角㈠用余弦定理，可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取小结:余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、已知两边一对角解三角形。余弦定理：推论:数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、不变量的思想