计算方法课件.ppt

《计算方法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章数值积分§1引言§2牛顿-柯特斯公式§3龙贝格算法§4高斯型求积公式11.1数值求积的必要性在高等数学中，曾用牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz）公式§1引言（其中F(x)是f(x)的一个原函数）来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况：2(1)f(x)的结构复杂，求原函数困难；(2)f(x)的原函数不能用初等函数表示；(3)f(x)的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值计算，例如微分方程数

2、值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。31.2构造数值求积公式的基本方法可以从不同的角度出发通过各种途径来构数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下：在积分区间[a，b]上取一组点作f(x)的n次插值多项式：4(1.1)为n次插值基函数。用Ln(x)近似代替被积函数f(x)，则得其中(1.1)5若记得数值求积公式(1.2)(1.3)形如（1.3）的求积公式称为机械求积公式。6其中xk称为求积节点，Ak称为求积系数。若求积公式（1.3）中的求积系数Ak是由（1.2）确定的，则称该求积公式为插值型求积公式。本章主要讨

3、论插值型求积公式。71.3求积公式的余项积分的真值与由某求积公式给出的近似之差，称为该求积公式的余项，记作R[f]。例如，求积公式（1.3）的余项为8（1.4）如果求积公式（1.3）是插值型的，则由上知于是，由插值余项公式得9其中1.4求积公式的代数精度为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求它对尽可能多的被积函数f(x)都准确地成立。在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述。10对任意不高于m次的代数多项式都准确成立，而对于xm+1却不能准确成立，则称该公式的代数精度为m。例如，梯形公式（在几何上就是用梯形面积近似代替曲边梯形

4、面积见图4-1）定义1若求积公式11（1.5）的代数精度m=1。事实上，当f(x)=1时，在（1.5）中左端=右端=左端=右端12这表明求积公式（1.5）对f(x)=1是准确成立的；当f(x)=x时，在（1.5）中左端=右端=左端=右端这表明求积公式（1.5）对f(x)=x也是准确成立的；130图4-114综上所述，容易看出求积公式（1.5）对函数f(x)=1和f(x)=x的任一线性组合（不高于一次的代数多项式）都准确成立，故公式（1.5）的代数精度m至少等于1。但是，当f(x)=x2时，其左端=右端=左端右端（设ab）15故由定义知，梯形公式（1.

5、5）的代数精度m=1。显然，一个求积公式的代数精度越高，它就越能对更多的被积函数f(x)准确（或较准确）地成立，从而具有更好的实际计算意义。由插值型求积公式的余项（1.4）易得定理1含有n+1个节点xk(k=0,1,…,n)的插值型求积公式（1.3）的代数精度至少为n.16§2牛顿—柯特斯公式在§1中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式。本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿-柯特17

6、斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。2.1牛顿-柯特斯公式若将积分区间[a，b]n等分，取分点作为求积节点，并作变量替换x=a+th，那么插值型求积公式(1.3)的系数由（1.2）可得：18记(2.1)19则于是，由（1.3）就可写出相应的插值型求积公式(2.2)20这就是一般的牛顿—柯特斯公式，其中Ck(n）称为柯特斯系数。从柯特斯系数的算式（2.1）可以看出，其值与积分区间[a，b]及被积函数f(x)都无关，只要给出了积分区间的等分数n，就能毫无困难地算出C0(n）、C1(n）、…、Cn(n）。例如，当n=1时有21当n=2时，有22n123456

7、表4-1为了便于应用，部分柯特斯系数列见表4-1。23利用这张柯特斯系数表（表4-1），由（2.2）可以直接写出当n=1,2,…,6时的牛顿-柯特斯公式。例如，当n=1时有两点公式(2.3)当n=2时有三点公式(2.4)24当n=4时有五点公式(2.5)其中求积公式（2.3）就是梯形公式。25求积公式（2.4）称为辛普生（Simpson）公式。其几何意义就是通过A,B,C三点的抛物线y=L2(x)围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积（见图4-2）。因此，求积公式（2.4）又名抛物线公式。求积公式（2.5）称为柯特斯公式。梯形公式、辛普生公式和柯特斯

8、公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。下述定理给出了这些求积公式的余