《计算方法》PPT课件

《《计算方法》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章常微分方程初值问题的数值解法许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的初值问题。所谓初值问题，是函数及其必要的导数在区间的起始点为已知的一类问题，一般形式为：我们先介绍简单的一阶问题：常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题的解函数y=y(x)，如对下列微分方程：由常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。《高等数学》中，微分方程求解，如对一阶微分方程：y=f(x,y)是求解解函数y=y(x)，使满足上述方程。但能够求出所谓常微分方程初值问题的数值解法，就是求它的解，在一系列节点

2、上的近似值，即：称为步长，一般总取为常数。准确的解析函数y(x)的微分方程是很少的，《高数》中研究微分方程的求解，是分门别类讨论，对不同类型的微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，首先必须认清类型。由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很复杂，绝大多数很难，甚至不可能求出解析函数y(x)，因此只能考虑求其数值解。本章重点讨论一阶微分方程，在此基础上介绍一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。6.1欧拉（Euler）法以Euler法及其改进方法为例,说明常微分方程初值问题数值解法的一般概念，Euler法很简单，准确度也不高，介绍此方法的目的，是由于对它的分析讨论能够比较清楚地显

3、示出方法的一些特点，而这些特点及基本方法反映了其它方法的特点。Euler法用于求解一阶微分方程初值问题：6.1.1欧拉折线法从几何意义出发：一阶常微分方程：及初始条件：的解解函数y=y(x)在xoy平面上是一族解曲线，而初值问题则是其中一条积分曲线，假定y=y(x)的曲线如下图所示，从给定的点P0(x0,y0)出发，以P0为切点，作切线，切线斜率为曲线y(x)的切线斜率y=f(x0,y0)，因此可得切线：P1P2y(x)P0x2x1x0切线与直线相交：取作为的近似值。再过点，作斜率为的直线方程：它与直线相交：取作为的近似值。它与直线相交：依次下去，就可以求得点，通过这点作斜率为的直线方程：

4、由此便得到原初值问题的解在节点处的近似值。我们把这种求解初值问题的方法，称为欧拉折线法。可以看出，欧拉折线法的计算公式为：通过上述计算过程可以看出，欧拉折线法的基本思想是用一系列直线所组成的折线去近似地代替曲线，并用这些直线交点处的纵坐标作为精确解的近似值。欧拉折线法的截断误差：假设第n步求得的是精确的，即，则在第n+1步，把称为欧拉折线法的截断误差。又由泰勒展开式可知：所以这说明欧拉折线法的精度是很差的。6.1.2欧拉方法的改进要求常微分方程及初始条件：的解，可以通过积分方法求得：①.令，代入上面积分方程，得：②.令，代入原积分方程，得：在微分方程两边，从到对求积分：要求一个函数的数值积分

5、，通过第五章的学习，我们已学会了很多方法：梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式以及龙贝格公式。而选用不同的数值积分方法，便导出不同的计算公式：③.根据递推，一般有：要求得的近似值，只要用数值方法求出的积分近似值就可以了。①.采用矩形公式:以左矩形面积代替曲边梯形面积,如下图所示，亦即以：yf(x,y)xnxxn+1②.采用矩形公式:以右矩形面积代替曲边梯形面积,如下图所示，亦即以：yf(x,y)xnxxn+1③.采用梯形公式:以梯形面积代替曲边梯形面积,如下图所示，亦即以：当时，由此便得到微分方程初值问题的一系列近似值，利用上述公式求解一阶微分方程初值问题的方法称为梯形法则。代入递推公式，得：若

6、用和分别近似和，则有计算公式：yf(x,y)xnxxn+1梯形公式看作是以（xn,yn）(xn+1,yn+1)构造的插值多项式代替被积函数得到的，而Euler公式则是以左端点函数值近似被积函数而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些精度更高的求解微分方程的数值公式，梯形公式比Euler公式更准确一些，误差更小。注1：Euler公式为显式，右矩形，梯形公式为隐式；注2：前面已有Euler法的局部截断误差：误差阶：如果局部截断误差则称方法为P阶的。显然，Euler法为1阶方法,且步长h越小，阶数P越高，局部截断误差越小，当然计算精度越高；注3：梯形法是几阶？梯形法精度比Euler

7、法高，阶数肯定比Euler法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估计式，因为我们是用梯形数值积分公式计算因此,由积分中梯形公式的误差知此时的局部截断误差为：∴梯形法为2阶方法！注4：Euler法与梯形法在计算上有根本区别，Euler公式中的yn为已知值或已算出的值，由yn可直接求出yn+1，这种方法通常称为显式方法，而在梯形法则中，yn+1隐含在函数f(xn+1,yn+1)中，必须通过解方程才能求出来，因此