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1、等差数列的前n项和的性质及应用等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)
2、(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2dnd性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质3:为等差数列.an等差数列的性质应用：例1、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例3.在等差数列{a
3、n}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用等差数列的性质应用：例4、已知等差数列的前10项之和为140，其中奇数项之和为125，求第6项。解：由已知则故解一：设首项为a1,公差为d,则例.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。由解二：例5.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。等差数列的性质应用：例
4、、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中间项及总项数。解：由中间项得中间项为11又由得例6.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则
5、a1
6、+
7、a2
8、+
9、a3
10、+……+
11、a15
12、=.10153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=1
13、2,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.等差数列的性质应用：例9：已知等差数列中，求的值。解法1：代入下式得：解法2：设解法3：由已知两式相减得例7.已知数列前n项和，（1）求证：为等差数列；（２）记数列 的前项和为，求 的表达式.}{na例8.已知正整
14、数数列中,前n项和满足求证:为等差数列.例9.已知数列的首项a１＝１,其前n项和sn和an之间的关系满an＝(1)求证:为等差数列；(2)求{an}的通项公式.练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求
15、a1
16、+
17、a2
18、+
19、a3
20、+…+
21、a20
22、的值课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n
23、,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,
24、则性质5:为等差数列.an
